Seja a função
. A função
é contínua em
? E derivável em
?
Passo 1
Beleza, vamos olhar o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá a função
e pede para saber se ela é contínua e derivável em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e derivável em um ponto, e como calcular limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Então, precisamos calcular:
Vamos por partes.
Passo 3
Calculando
:
Agora, para
se aproximando de 0 pela esquerda (
),
é negativo, então
. Assim:
Calculando o limite:
Para
se aproximando de 0 pela direita (
),
é positivo, então
. Assim:
Calculando o limite:
Como todos os limites s��o iguais a
, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos ver se a função é derivável em
. Para isso, precisamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita e ver se elas são iguais.
Primeiro, derivando para
:
Calculando o limite da derivada pela esquerda:
Agora, derivando para
:
Calculando o limite da derivada pela direita:
Como as derivadas laterais são diferentes (
), a função não é derivável em
.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é derivável nesse ponto.