Seja a função f = (x - 2) * |x|. A função f é contínua em x = 0 ? E derivável em x = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos olhar o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá a função e pede para saber se ela é contínua e derivável em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e derivável em um ponto, e como calcular limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Então, precisamos calcular:
Vamos por partes.

Passo 3

Calculando :
Agora, para se aproximando de 0 pela esquerda ( ), é negativo, então . Assim:
Calculando o limite:
Para se aproximando de 0 pela direita ( ), é positivo, então . Assim:
Calculando o limite:
Como todos os limites s��o iguais a , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos ver se a função é derivável em . Para isso, precisamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita e ver se elas são iguais.
Primeiro, derivando para :
Calculando o limite da derivada pela esquerda:
Agora, derivando para :
Calculando o limite da derivada pela direita:
Como as derivadas laterais são diferentes ( ), a função não é derivável em .

Resposta

A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.

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