Uma função
diz-se semi-contínua superiormente (scs) no ponto
quando, para cada
dado, existe
tal que
implicam
. Defina função semicontínua inferiormente (sci) no ponto
. Prove que
é contínua no ponto
se, e somente se, é scs e sci nesse ponto. Prove que se
é scs,
é sci no ponto
e
então existe
tal que
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma função
e a noção de semicontinuidade superior (scs) em
: para todo
existe
tal que, se
e
, então
.
Definimos a semicontinuidade inferior (sci) em assim:
Definimos a semicontinuidade inferior (sci) em
Definição de sci em
:
é semicontínua inferiormente em
se, para todo
dado, existe
tal que, sempre que
e
, temos
.
Passo 2
Provar que
é contínua em
se, e somente se, é scs e sci em
.
(a) Suponha
contínua em
. Dado qualquer
, pela continuidade existe
tal que
implica
, ou seja
. Logo
é scs. Analogamente, para
a mesma continuidade dá
, ou seja
, mostrando que
é sci.
(b) Suponha
scs e sci em
. Para provar continuidade, seja
.
Pela sci, escolhamos tal que
implique
.
Pela scs, escolhamos tal que
implique
.
Tomando , sempre que
teremos
Pela sci, escolhamos
Pela scs, escolhamos
Tomando
que é exatamente
. Assim
é contínua em
.
Passo 3
Provar que, se
é scs em
,
é sci em
e
, então existe
tal que
implica
.
Como
, escolha um valor intermediário
Pela scs de
em
existe
tal que
implica
.
Pela sci de em
existe
tal que
implica
.
Tomando , sempre que
temos simultaneamente
Pela sci de
Tomando
logo
, como desejado.
Resposta
Definição de semicontinuidade inferior em
: para todo
existe
tal que
implica
.
Mostrou-se que
é contínua em
se, e somente se, é scs e sci em
.
E também que, se
é scs em
,
é sci em
e
, então existe
tal que
implica
.