Uma função f: X \rightarrow \mathbb{R} diz-se semi-contínua superiormente (scs) no ponto a \in X quando, para cada c>f(a) dado, existe \delta>0 tal que x \in X,|x-a|<\delta implicam f(x)<c. Defina função semicontínua inferiormente (sci) no ponto a. Prove que f é contínua no ponto a se, e somente se, é scs e sci nesse ponto. Prove que se f é scs, g é sci no ponto a e f(a)<g(a) então existe \delta>0 tal que x \in X,|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<g(x).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função f\colon X\to\mathbb{R} e a noção de semicontinuidade superior (scs) em a\in X: para todo c>f(a) existe \delta>0 tal que, se x\in X e |x-a|<\delta, então f(x)<c.
Definimos a semicontinuidade inferior (sci) em a assim:
Definição de sci em a:
f é semicontínua inferiormente em a se, para todo d<f(a) dado, existe \delta>0 tal que, sempre que x\in X e |x-a|<\delta, temos f(x)>d.

Passo 2

Provar que f é contínua em a se, e somente se, é scs e sci em a.
(a) Suponha f contínua em a. Dado qualquer c>f(a), pela continuidade existe \delta tal que |x-a|<\delta implica |f(x)-f(a)|<c-f(a), ou seja f(x)<c. Logo f é scs. Analogamente, para d<f(a) a mesma continuidade dá |f(x)-f(a)|<f(a)-d, ou seja f(x)>d, mostrando que f é sci.
(b) Suponha f scs e sci em a. Para provar continuidade, seja \varepsilon>0.
Pela sci, escolhamos \delta_1 tal que |x-a|<\delta_1 implique f(x)>f(a)-\varepsilon.
Pela scs, escolhamos \delta_2 tal que |x-a|<\delta_2 implique f(x)<f(a)+\varepsilon.
Tomando \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}, sempre que |x-a|<\delta teremos
f(a)-\varepsilon < f(x) < f(a)+\varepsilon,
que é exatamente |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Assim f é contínua em a.

Passo 3

Provar que, se f é scs em a, g é sci em a e f(a)<g(a), então existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta implica f(x)<g(x).
Como f(a)<g(a), escolha um valor intermediário
c\quad\text{tal que}\quad f(a)<c<g(a).
Pela scs de f em a existe \delta_1>0 tal que |x-a|<\delta_1 implica f(x)<c.
Pela sci de g em a existe \delta_2>0 tal que |x-a|<\delta_2 implica g(x)>c.
Tomando \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}, sempre que |x-a|<\delta temos simultaneamente
f(x)<c<g(x),
logo f(x)<g(x), como desejado.

Resposta

Definição de semicontinuidade inferior em a: para todo d<f(a) existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta implica f(x)>d.
Mostrou-se que f é contínua em a se, e somente se, é scs e sci em a.
E também que, se f é scs em a, g é sci em a e f(a)<g(a), então existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta implica f(x)<g(x).

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