Seja f: X \rightarrow \mathbb{R} descontínua no ponto a \in X. Prove que existe \varepsilon>0 com a seguinte propriedade: ou se pode achar uma seqüência de pontos x_{n} \in X com \lim x_{n}=a e f\left(x_{n}\right)>f(a)+\varepsilon para todo n \in \mathbb{N} ou acha-se \left(y_{n}\right) com y_{n} \in X, \lim y_{n}=a e f\left(y_{n}\right)<f(a)-\varepsilon para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado afirma que f\colon X\to\mathbb{R} é descontínua em a\in X. Precisamos mostrar que existe \varepsilon>0 tal que ou construímos uma sequência (x_n)\subset X com \lim x_n=a e
f(x_n)>f(a)+\varepsilon \quad\forall n,
ou então uma sequência (y_n)\subset X com \lim y_n=a e
f(y_n)<f(a)-\varepsilon \quad\forall n.
Usaremos a definição de descontinuidade via “contra-exemplos” para todo delta e depois o princípio da casa dos pombos para extrair a sequência desejada.

Passo 2

Como f é descontínua em a, existe \varepsilon>0 tal que, para todo \delta>0, encontramos algum x\in X satisfazendo
0<d(x,a)<\delta \quad\text{e}\quad |f(x)-f(a)|\ge\varepsilon.
Fixe esse \varepsilon.

Passo 3

Para cada n\in\mathbb{N}, aplique a condição acima com \delta=\tfrac1n. Assim surge uma sequência (z_n)\subset X tal que
0<d(z_n,a)<\tfrac1n \quad\text{e}\quad |f(z_n)-f(a)|\ge\varepsilon.
Dessa forma, \lim z_n=a.

Passo 4

Da desigualdade |f(z_n)-f(a)|\ge\varepsilon segue que, para cada n, ou
f(z_n)\ge f(a)+\varepsilon \quad\text{ou}\quad f(z_n)\le f(a)-\varepsilon.
Defina os índices
I_+ = \{\,n : f(z_n)\ge f(a)+\varepsilon\}, \quad I_- = \{\,n : f(z_n)\le f(a)-\varepsilon\}.
Como I_+\cup I_-=\mathbb{N} e \mathbb{N} é infinito, pelo princípio da casa dos pombos um destes conjuntos é infinito.

Passo 5

Se I_+ é infinito, escolha uma enumeração estrita n_1<n_2<\cdots de I_+ e defina x_k=z_{n_k}. Então \lim x_k=a e
f(x_k)\ge f(a)+\varepsilon \quad\forall k,
dando a sequência desejada.
Caso contrário, I_- é infinito e, analogamente, enumeramos I_-=\{m_1<m_2<\cdots\} e tomamos y_k=z_{m_k}. Assim
\lim y_k=a \quad\text{e}\quad f(y_k)\le f(a)-\varepsilon \quad\forall k.

Resposta

Fica então provado que existe \varepsilon>0 que garante uma das duas sequências pedidas, conforme requerido.

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