Seja
descontínua no ponto
. Prove que existe
com a seguinte propriedade: ou se pode achar uma seqüência de pontos
com
e
para todo
ou acha-se
com
e
para todo
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é descontínua em
. Precisamos mostrar que existe
tal que ou construímos uma sequência
com
e
ou então uma sequência
com
e
Usaremos a definição de descontinuidade via “contra-exemplos” para todo delta e depois o princípio da casa dos pombos para extrair a sequência desejada.
Passo 2
Como
é descontínua em
, existe
tal que, para todo
, encontramos algum
satisfazendo
Fixe esse
.
Passo 3
Para cada
, aplique a condição acima com
. Assim surge uma sequência
tal que
Dessa forma,
.
Passo 4
Da desigualdade
segue que, para cada
, ou
Defina os índices
Como
e
é infinito, pelo princípio da casa dos pombos um destes conjuntos é infinito.
Passo 5
Se
é infinito, escolha uma enumeração estrita
de
e defina
. Então
e
dando a sequência desejada.
Caso contrário, é infinito e, analogamente, enumeramos
e tomamos
. Assim
Caso contrário,
Resposta
Fica então provado que existe
que garante uma das duas sequências pedidas, conforme requerido.