Sejam f, g: X \rightarrow \mathbb{R} contínuas no ponto a. Suponha que, em cada vizinhança V de a, existam pontos x, y tais que f(x)<g(x) e f(y)>g(y). Prove que f(a)=g(a).

Passo 1

O enunciado diz que f e g são funções de X em \mathbb{R}, ambas contínuas no ponto a. Além disso, em toda vizinhança de a existe um ponto x tal que f(x)<g(x) e outro ponto y tal que f(y)>g(y). O objetivo é mostrar que esses dois fatos obrigam f(a)=g(a). Para isso, vamos usar a continuidade de uma função diferença e o argumento de contradição.

Passo 2

Definimos a função
h(x)=f(x)-g(x).
Como f e g são contínuas em a, a diferença h também é contínua em a. Note que provar f(a)=g(a) equivale a provar h(a)=0.

Passo 3

Suponha, por contradição, que h(a)>0. Pela continuidade de h em a, existe \delta>0 tal que para todo z com \lvert z-a\rvert<\delta temos
h(z)>0.
Mas isso impede que em cada vizinhança de a haja ponto y com h(y)<0, pois em (a-\delta,a+\delta) todos os valores de h seriam positivos. Isso contradiz a hipótese de que sempre existe y com f(y)-g(y)=h(y)<0.

Passo 4

De modo análogo, suponha que h(a)<0. Novamente, pela continuidade, existe \delta'>0 tal que \lvert z-a\rvert<\delta' implique
h(z)<0.
Isso impede a existência de pontos x com h(x)>0 naquela vizinhança, contrariando a hipótese de que sempre aparece x com f(x)-g(x)=h(x)>0.

Passo 5

Como h(a) não pode ser nem estritamente positivo nem estritamente negativo, a única possibilidade é
h(a)=0.
Logo, f(a)-g(a)=0, ou seja,

Resposta

f(a)=g(a).

Exercícios relacionados