Sejam
contínuas no ponto
. Suponha que, em cada vizinhança
de
, existam pontos
tais que
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções de
em
, ambas contínuas no ponto
. Além disso, em toda vizinhança de
existe um ponto
tal que
e outro ponto
tal que
. O objetivo é mostrar que esses dois fatos obrigam
. Para isso, vamos usar a continuidade de uma função diferença e o argumento de contradição.
Passo 2
Definimos a função
Como
e
são contínuas em
, a diferença
também é contínua em
. Note que provar
equivale a provar
.
Passo 3
Suponha, por contradição, que
. Pela continuidade de
em
, existe
tal que para todo
com
temos
Mas isso impede que em cada vizinhança de
haja ponto
com
, pois em
todos os valores de
seriam positivos. Isso contradiz a hipótese de que sempre existe
com
.
Passo 4
De modo análogo, suponha que
. Novamente, pela continuidade, existe
tal que
implique
Isso impede a existência de pontos
com
naquela vizinhança, contrariando a hipótese de que sempre aparece
com
.
Passo 5
Como
não pode ser nem estritamente positivo nem estritamente negativo, a única possibilidade é
Logo,
, ou seja,