Uma função
é chamada harmônica se
. Prove que as funções abaixo são harmônicas.
.
Passo 1
Estamos com a função f(x,y)=cos(x)\\u2009sinh(y)+sin(x)\\u2009cosh(y). O conteúdo é funções harmônicas, definidas por satisfazerem a equação de Laplace
. Para resolver, vamos usar as regras de derivação:
,
,
e
.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada parcial em relação a x. Temos
Passo 3
Agora derivamos novamente em x para obter f_{xx}:
Passo 4
Calculamos a primeira derivada parcial em relação a y. Temos
Passo 5
E derivamos de novo em y para obter f_{yy}:
Passo 6
Somamos as segundas derivadas:
Passo 7
Como o somatório das segundas derivadas é zero, f satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função f(x,y)=cos(x) sinh(y)+sin(x) cosh(y) é harmônica, pois f_{xx}+f_{yy}=0.