Uma função f(x, y) é chamada harmônica se partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0. Prove que as funções abaixo são harmônicas.
f(x, y)=cos (x) senh(y)+sen(x) cosh (y).

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=cos(x)\\u2009sinh(y)+sin(x)\\u2009cosh(y). O conteúdo é funções harmônicas, definidas por satisfazerem a equação de Laplace fxx+fyy=0. Para resolver, vamos usar as regras de derivação: ddxsin(x)=cos(x), ddxcos(x)=-sin(x), ddysinh(y)=cosh(y) e ddycosh(y)=sinh(y).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada parcial em relação a x. Temos
fx=partial fpartial x=-sin(x)sinh(y)+cos(x)cosh(y)

Passo 3

Agora derivamos novamente em x para obter f_{xx}:
fxx=partialpartial xl(-sin(x)sinh(y)+cos(x)cosh(y)r)=-cos(x)sinh(y)-sin(x)cosh(y)

Passo 4

Calculamos a primeira derivada parcial em relação a y. Temos
fy=partial fpartial y=cos(x)cosh(y)+sin(x)sinh(y)

Passo 5

E derivamos de novo em y para obter f_{yy}:
fyy=partialpartial yl(cos(x)cosh(y)+sin(x)sinh(y)r)=cos(x)sinh(y)+sin(x)cosh(y)

Passo 6

Somamos as segundas derivadas:
fxx+fyy =l(-cos(x)sinh(y)-sin(x)cosh(y)r)+l(cos(x)sinh(y)+sin(x)cosh(y)r)=0

Passo 7

Como o somatório das segundas derivadas é zero, f satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função f(x,y)=cos(x) sinh(y)+sin(x) cosh(y) é harmônica, pois f_{xx}+f_{yy}=0.

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