Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
y^2 d x+(x raizy^2-x^2-x y) d y=0 (x>0)

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
y^2,dx + l(xraizy^2-x^2 - x yr),dy = 0, x>0
Aqui M(x,y)=y^2 e N(x,y)=xraizy^2-x^2-xy. Não é exata, então vamos usar a substituição
y = xsec t,
pois raizy^2-x^2 = xtan t quando x>0.

Passo 2

Com y = xsec t temos
raizy^2-x^2 = xtan t, dy = sec t,dx + xsec ttan t,dt
Substituímos em
y^2,dx + l(xraizy^2-x^2 - x yr),dy = 0

Passo 3

Após substituir, o termo em dx fica
x^2sec^2t,dx + x^2(tan t - sec t)sec t,dx = x^2sec ttan t,dx,
e o termo em dt fica
x^3(tan t - sec t)sec ttan t,dt
Dividindo por x^2sec ttan t (não nulo em x>0), chega-se a
dx + x,(tan t - sec t),dt = 0

Passo 4

A equação
dxdt + xl(tan t - sec tr) = 0
é separável. Escrevemos
dxx = -(tan t - sec t),dt = -tan t,dt + sec t,dt,
e integramos:
ln|x| = ln|cos t| + lnl|sec t + tan tr| + ln C = lnl[C,cos t,(sec t + tan t)r]
Logo
x = Cl(1 + sin tr),
pois cos tsec t=1 e cos ttan t=sin t.

Passo 5

Voltando a sin t = raizy^2-x^2/y, obtemos
x = Cl(1 + raizy^2-x^2yr) Longrightarrow x,yy + raizy^2-x^2 = C,
que é a solução geral implícita.

Resposta

x,yy + raizy^2-x^2 = C,
onde C é constante de integração.

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