Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é a resolução de EDOs homogêneas por meio do polinômio característico. Vamos usar o ansatz
para obter esse polinômio, encontrar suas raízes e montar a combinação linear de soluções elementares.
Passo 2
Supondo
, temos
Substituindo na equação, cancelando o fator
, obtemos o polinômio característico:
Passo 3
Fatoramos
em evidência:
Isso dá duas raízes reais nulas,
(com multiplicidade 2), e as raízes da quadrática
Passo 4
Cada raiz contribui com um termo da solução geral:
- Para
com multiplicidade 2, as soluções são e . - Para
, as soluções reais são e .
Portanto, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.