Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
y^(4)+6 y^prime prime prime+13 y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
y^(4) + 6,y^primeprimeprime + 13,y^primeprime = 0
O conteúdo envolvido é a resolução de EDOs homogêneas por meio do polinômio característico. Vamos usar o ansatz y=e^r x para obter esse polinômio, encontrar suas raízes e montar a combinação linear de soluções elementares.

Passo 2

Supondo y=e^r x, temos
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x, y''' = r^3 e^r x, y^(4) = r^4 e^r x
Substituindo na equação, cancelando o fator e^r xneq0, obtemos o polinômio característico:
r^4 + 6r^3 + 13r^2 = 0

Passo 3

Fatoramos r^2 em evidência:
r^2l(r^2 + 6r + 13r) = 0
Isso dá duas raízes reais nulas, r=0 (com multiplicidade 2), e as raízes da quadrática
r^2 + 6r + 13 = 0 Longrightarrow r = -6 pm raiz36 - 522 = -3 pm 2i

Passo 4

Cada raiz contribui com um termo da solução geral:
  • Para r=0 com multiplicidade 2, as soluções são e^0x=1 e x e^0x=x.
  • Para r=-3pm2i, as soluções reais são e^-3xcos(2x) e e^-3xsin(2x).
Portanto, a solução geral é
y(x) = C1 cdot 1 + C2 cdot x + e^-3xl(C3 cos(2x) + C4 sin(2x)r),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2,x + e^-3xl(C3cos(2x)+C4sin(2x)r)

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