A função
possui um valor minimo com a restricão
. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar esse minimo
Passo 1
O enunciado dá a função
e a restrição linear
.
Pede-se determinar o ponto que minimiza
sujeito à restrição
e o valor mínimo de
nesse ponto.
Informações relevantes: a função objetivo e a restrição (uma equação) estão completamente especificadas; não há outras condições.
Pede-se determinar o ponto
Informações relevantes: a função objetivo
Passo 2
Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática): quando queremos minimizar (ou maximizar) uma função sujeita a uma restrição do tipo
, o método diz que no ponto ótimo a direção de maior crescimento de
(o gradiente de
) deve ser paralela à direção de maior crescimento de
(o gradiente de
). Isso se escreve como
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número que ajusta a escala entre os dois gradientes). Além disso, o ponto ótimo deve satisfazer a própria restrição
. Vou aplicar exatamente isso passo a passo.
Passo 3
Defino a função da restrição como
de modo que a restrição é
. Agora construo a função de Lagrange (escolho a forma
, que é equivalente a
):
Aqui:
e
são as variáveis que queremos escolher, e
é o multiplicador de Lagrange cujo papel é impor a restrição.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais de
e igualo a zero (condições de estacionaridade):
e a condição da restrição
Essas três equações formam um sistema para
. Vou explicar cada derivada:
deriva
em relação a
que dá
, e deriva
em relação a
que dá
. Analogamente para
.
Passo 5
Uso as duas primeiras equações para relacionar
e
. Das duas primeiras obtém-se
Igualando as expressões para
vem
Dividindo por
:
Isso significa que, no ponto ótimo,
vale o dobro de
.
Passo 6
Substituo
na restrição
:
Então
Portanto o candidato a ponto ótimo é
. Para completar, posso encontrar
se quiser:
(informação extra; não necessária para o valor mínimo).
Passo 7
Calculo o valor de
nesse ponto:
Logo o valor da função no ponto candidato é
.
Passo 8
Justificativa de que é mínimo (explicação didática):
é uma função quadrática com matriz hessiana diagonal
. Como os autovalores são
e
, ambos positivos, a função é convexa (estritamente convexa). Em uma restrição afim (reta
), uma função estritamente convexa possui um único mínimo global sobre essa reta. Assim o ponto encontrado é de fato o mínimo global sujeito à restrição.]
Passo 9
Resumo prático para a prova (dica amiga): montar
, calcular
,
, igualar a zero, usar a restrição para resolver. Sempre confira convexidade (ou positividade do hessiano) para garantir que é mínimo e não máximo. Você já resolveu um caso típico e simples.
Resposta
Valor mínimo: