A função f(x, y)=2 x^{2}+y^{2} possui um valor minimo com a restricão x+y=6. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar esse minimo

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x^{2}+y^{2} e a restrição linear x+y=6.
Pede-se determinar o ponto (x,y) que minimiza f sujeito à restrição x+y=6 e o valor mínimo de f nesse ponto.
Informações relevantes: a função objetivo f e a restrição (uma equação) estão completamente especificadas; não há outras condições.

Passo 2

Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática): quando queremos minimizar (ou maximizar) uma função sujeita a uma restrição do tipo g(x,y)=0, o método diz que no ponto ótimo a direção de maior crescimento de f (o gradiente de f) deve ser paralela à direção de maior crescimento de g (o gradiente de g). Isso se escreve como
\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número que ajusta a escala entre os dois gradientes). Além disso, o ponto ótimo deve satisfazer a própria restrição g(x,y)=0. Vou aplicar exatamente isso passo a passo.

Passo 3

Defino a função da restrição como
g(x,y)=x+y-6,
de modo que a restrição é g(x,y)=0. Agora construo a função de Lagrange (escolho a forma L=f-\lambda g, que é equivalente a f-\lambda g):
L(x,y,\lambda)=2x^{2}+y^{2}-\lambda(x+y-6).
Aqui: x e y são as variáveis que queremos escolher, e \lambda é o multiplicador de Lagrange cujo papel é impor a restrição.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais de L e igualo a zero (condições de estacionaridade):
\frac{\partial L}{\partial x}=4x-\lambda=0,
\frac{\partial L}{\partial y}=2y-\lambda=0,
e a condição da restrição
g(x,y)=x+y-6=0.
Essas três equações formam um sistema para (x,y,\lambda). Vou explicar cada derivada: \frac{\partial L}{\partial x} deriva 2x^{2} em relação a x que dá 4x, e deriva -\lambda(x+y-6) em relação a x que dá -\lambda. Analogamente para y.

Passo 5

Uso as duas primeiras equações para relacionar x e y. Das duas primeiras obtém-se
4x-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=4x,
2y-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=2y.
Igualando as expressões para \lambda vem
4x=2y.
Dividindo por 2:
2x=y.
Isso significa que, no ponto ótimo, y vale o dobro de x.

Passo 6

Substituo y=2x na restrição x+y=6:
x+2x=6 \quad\Rightarrow\quad 3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Então
y=2x=2\cdot 2=4.
Portanto o candidato a ponto ótimo é (x,y)=(2,4). Para completar, posso encontrar \lambda se quiser: \lambda=4x=4\cdot 2=8 (informação extra; não necessária para o valor mínimo).

Passo 7

Calculo o valor de f nesse ponto:
f(2,4)=2\cdot 2^{2}+4^{2}=2\cdot 4+16=8+16=24.
Logo o valor da função no ponto candidato é 24.

Passo 8

Justificativa de que é mínimo (explicação didática): f(x,y)=2x^{2}+y^{2} é uma função quadrática com matriz hessiana diagonal \begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}. Como os autovalores são 4 e 2, ambos positivos, a função é convexa (estritamente convexa). Em uma restrição afim (reta x+y=6), uma função estritamente convexa possui um único mínimo global sobre essa reta. Assim o ponto encontrado é de fato o mínimo global sujeito à restrição.]

Passo 9

Resumo prático para a prova (dica amiga): montar L=f-\lambda g, calcular \partial L/\partial x, \partial L/\partial y, igualar a zero, usar a restrição para resolver. Sempre confira convexidade (ou positividade do hessiano) para garantir que é mínimo e não máximo. Você já resolveu um caso típico e simples.

Resposta

(x,y)=(2,4)
Valor mínimo: 24

Exercícios relacionados