Suponha que uma função f(x, y) possua derivadas parciais de segunda ordem contínuas em uma vizinhança da origem e que ( 0,0 ) seja um ponto crítico. Considere o discriminante
D=f_{x x}(0,0) f_{y y}(0,0)-\left(f_{x y}(0,0)\right)^{2}
Discuta o que o teste da segunda derivada informa em cada um dos casos abaixo:
D<0;

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A função f(x,y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança da origem.
  • O ponto (0,0) é um ponto crítico, ou seja, f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0.
  • Define-se o discriminante
D=f_{x x}(0,0)\,f_{y y}(0,0)-\bigl(f_{x y}(0,0)\bigr)^{2}.
A pergunta específica: discutir o que o teste da segunda derivada informa quando D<0.

Passo 2

Intuição e aproximação quadrática (por que usamos derivadas segundas).
  • Como f tem segundas derivadas contínuas, perto de (0,0) podemos aproximar f por sua expansão de Taylor até a segunda ordem (o termo linear some porque é ponto crítico). Escrevemos:
f(x,y)=f(0,0)+\frac{1}{2}\bigl(a x^{2}+2b x y+c y^{2}\bigr)+o\bigl(\|(x,y)\|^{2}\bigr),
onde definimos, para simplificar a notação:
a=f_{x x}(0,0),\qquad b=f_{x y}(0,0),\qquad c=f_{y y}(0,0).
  • A parte quadrática
Q(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(a x^{2}+2b x y+c y^{2}\bigr)
é a que determina se f tem um máximo, mínimo ou um ponto de sela em (0,0), porque os termos de ordem superior o(\|(x,y)\|^{2}) são negligenciáveis para pontos suficientemente próximos da origem.

Passo 3

Interpretação matricial (Hessiana) e relação com D.
  • A forma quadrática Q pode ser escrita usando a matriz Hessiana H avaliada em (0,0):
H=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}, \qquad Q(x,y)=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}H\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.
  • O discriminante dado é exatamente o determinante da Hessiana:
D=\det H = ac-b^{2}.
  • Propriedade de autovalores: se \lambda_{1} e \lambda_{2} são os autovalores de H, então
\lambda_{1}\lambda_{2}=\det H = D.
Logo o sinal de D indica o produto dos autovalores da Hessiana.]

Passo 4

Consequência de D<0: autovalores com sinais opostos.
  • Se D<0, então \lambda_{1}\lambda_{2}<0. Isso significa que um autovalor é positivo e o outro é negativo (sinais opostos).
  • Quando a matriz Hessiana tem autovalores de sinais opostos, a forma quadrática Q é indefinida: existem direções em que Q>0 e direções em que Q<0.
  • Em termos práticos: existem vetores (x_1,y_1) próximos de (0,0) com Q(x_1,y_1)>0 e outros vetores (x_2,y_2) próximos com Q(x_2,y_2)<0. Portanto a função f ao redor da origem sobe em algumas direções e desce em outras.

Passo 5

Conclusão sobre o tipo de ponto em (0,0).
  • Como a aproximação quadrática já dá sinais opostos (subida em algumas direções e descida em outras), a origem não é nem mínimo local nem máximo local: é um ponto de sela (saddle point).
  • Formalmente: quando D<0, a segunda derivada testa indica que (0,0) é um ponto de sela — conclusão definitiva, não ambígua, já com base apenas nos valores das segundas derivadas em (0,0).

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a ideia (um jeitinho de visualizar na prova).
  • Tome f(x,y)=x^{2}-y^{2}. Então
f_{x x}(0,0)=2,\qquad f_{y y}(0,0)=-2,\qquad f_{x y}(0,0)=0.
  • Assim
D=(2)\cdot(-2)-0^{2}=-4<0.
  • Observa-se diretamente que ao longo do eixo x a função aumenta ( f(x,0)=x^{2}>0 para x\neq0) e ao longo do eixo y a função diminui ( f(0,y)=-y^{2}<0 para y\neq0); isso é exatamente o comportamento de um ponto de sela.

Passo 7

Receita prática rápida para usar na prova
  • Calcule f_x e f_y; verifique que no ponto crítico ambos anulam.
  • Calcule a=f_{x x}, b=f_{x y}, c=f_{y y} no ponto crítico e depois
D=ac-b^{2}.
  • Se D<0, conclua imediatamente: (0,0) é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo). Anote isso e siga para o próximo exercício — teste finalizado.

Resposta

D<0: ,(0,0) é um ponto de sela (saddle point) — não é nem máximo nem mínimo local.

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