Suponha que uma função
possua derivadas parciais de segunda ordem contínuas em uma vizinhança da origem e que ( 0,0 ) seja um ponto crítico. Considere o discriminante
Discuta o que o teste da segunda derivada informa em cada um dos casos abaixo:
;
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A função
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança da origem. - O ponto
é um ponto crítico, ou seja, e . - Define-se o discriminante
A pergunta específica: discutir o que o teste da segunda derivada informa quando
.
Passo 2
Intuição e aproximação quadrática (por que usamos derivadas segundas).
- Como
tem segundas derivadas contínuas, perto de podemos aproximar por sua expansão de Taylor até a segunda ordem (o termo linear some porque é ponto crítico). Escrevemos:
onde definimos, para simplificar a notação:
- A parte quadrática
é a que determina se
tem um máximo, mínimo ou um ponto de sela em
, porque os termos de ordem superior
são negligenciáveis para pontos suficientemente próximos da origem.
Passo 3
Interpretação matricial (Hessiana) e relação com
.
- A forma quadrática
pode ser escrita usando a matriz Hessiana avaliada em :
- O discriminante dado é exatamente o determinante da Hessiana:
- Propriedade de autovalores: se
e são os autovalores de , então
Logo o sinal de
indica o produto dos autovalores da Hessiana.]
Passo 4
Consequência de
: autovalores com sinais opostos.
- Se
, então . Isso significa que um autovalor é positivo e o outro é negativo (sinais opostos). - Quando a matriz Hessiana tem autovalores de sinais opostos, a forma quadrática
é indefinida: existem direções em que e direções em que . - Em termos práticos: existem vetores
próximos de com e outros vetores próximos com . Portanto a função ao redor da origem sobe em algumas direções e desce em outras.
Passo 5
Conclusão sobre o tipo de ponto em
.
- Como a aproximação quadrática já dá sinais opostos (subida em algumas direções e descida em outras), a origem não é nem mínimo local nem máximo local: é um ponto de sela (saddle point).
- Formalmente: quando
, a segunda derivada testa indica que é um ponto de sela — conclusão definitiva, não ambígua, já com base apenas nos valores das segundas derivadas em .
Passo 6
Exemplo concreto para fixar a ideia (um jeitinho de visualizar na prova).
- Tome
. Então
- Assim
- Observa-se diretamente que ao longo do eixo
a função aumenta ( para ) e ao longo do eixo a função diminui ( para ); isso é exatamente o comportamento de um ponto de sela.
Passo 7
Receita prática rápida para usar na prova
- Calcule
e ; verifique que no ponto crítico ambos anulam. - Calcule
, , no ponto crítico e depois
- Se
, conclua imediatamente: é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo). Anote isso e siga para o próximo exercício — teste finalizado.