Nos problemas abaixo, achar a solução do PVI em questão.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=0, y(pi4)=2, y^prime(pi4)=-2

Passo 1

O PVI dado é
y'' + 2y' + 2y = 0, yl(tfracpi4r)=2, y'l(tfracpi4r)=-2
Trata-se de uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, montamos a equação característica e depois aplicamos as condições iniciais para achar as constantes da solução geral.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 + 2r + 2 = 0
Suas raízes são
r = -2 pm raiz4 - 82 = -1 pm i,
logo a solução geral é
y(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 3

Vamos precisar de y'(x). Se definirmos f(x)=C1cos x + C2sin x, então
y(x)=e^-xf(x)Longrightarrow y'(x)=e^-xl(f'(x)-f(x)r)
Como f'(x)=-C1sin x + C2cos x, segue
y'(x) = e^-xl[-(C1cos x + C2sin x)+(-C1sin x + C2cos x)r] = e^-xl[-(C1+C2)sin x+(C2-C1)cos xr]

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais em x=tfracpi4, usando costfracpi4=sintfracpi4=tfracraiz22.
  1. Em yl(tfracpi4r)=2:
e^-pi/4raiz22(C1+C2) = 2 Longrightarrow C1+C2 = 2raiz2,e^pi/4
  1. Em y'l(tfracpi4r)=-2:
y'(tfracpi4) = e^-pi/41raiz2l[-(C1+C2) + (C2-C1)r] = -2
O colchete vale -2C1, então
-tfrac2C1raiz2e^-pi/4 = -2 Longrightarrow C1 = raiz2,e^pi/4
Daí C2=2raiz2,e^pi/4-C1=raiz2,e^pi/4

Passo 5

Substituindo C1=C2=raiz2,e^pi/4 na solução geral, fica
y(x) = e^-x,raiz2,e^pi/4l(cos x + sin xr) = raiz2,e^,pi/4 - x,(cos x + sin x)
Além disso, cos x + sin x = raiz2cosl(x-tfracpi4r), o que leva à forma mais compacta abaixo.

Resposta

y(x) = 2,e^pi4-xcos!l(x - tfracpi4r)

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