A função
é definida por
. Defina uma função
tal que
, para
e uma função
, tal que
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para achar duas funções inversas parciais de g(x)=x^{2}: uma que recupere x quando x≥0 e outra quando x≤0. Vamos usar o conceito de função inversa restrita e a definição de raiz quadrada.
Passo 2
Para x≥0, g mapeia x↦x^{2} sobre [0,∞). A inversa natural nessa restrição é a raiz quadrada principal. Definimos f no domínio [0,∞) por
Passo 3
Para verificar, calculemos (f∘g)(x) para x≥0:
Aqui usamos que √(x^{2})=|x| e, como x≥0, |x|=x.
Passo 4
Para x≤0, queremos recuperar o próprio x (negativo) a partir de x^{2}. A inversa restrita nesse caso é a raiz negativa. Definimos h no domínio [0,∞) por
Passo 5
Verificando (h∘g)(x) para x≤0:
Como x≤0, |x|=-x, logo -|x|=x, como desejado.
Resposta
f(x)=\sqrt{x},\quad h(x)=-\sqrt{x}