A função g é definida por g(x)=x^2. Defina uma função f tal que (f circ g)(x)=x, para x >= 0 e uma função h, tal que (h circ g)(x)=x, para x <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para achar duas funções inversas parciais de g(x)=x^{2}: uma que recupere x quando x≥0 e outra quando x≤0. Vamos usar o conceito de função inversa restrita e a definição de raiz quadrada.

Passo 2

Para x≥0, g mapeia x↦x^{2} sobre [0,∞). A inversa natural nessa restrição é a raiz quadrada principal. Definimos f no domínio [0,∞) por
f(y)=raizy

Passo 3

Para verificar, calculemos (f∘g)(x) para x≥0:
(f∘g)(x)=fl(g(x)r)=f(x^2)=raizx^2=|x|=x
Aqui usamos que √(x^{2})=|x| e, como x≥0, |x|=x.

Passo 4

Para x≤0, queremos recuperar o próprio x (negativo) a partir de x^{2}. A inversa restrita nesse caso é a raiz negativa. Definimos h no domínio [0,∞) por
h(y)=-raizy

Passo 5

Verificando (h∘g)(x) para x≤0:
(h∘g)(x)=h(x^2)=-raizx^2=-|x|
Como x≤0, |x|=-x, logo -|x|=x, como desejado.

Resposta

f(x)=\sqrt{x},\quad h(x)=-\sqrt{x}

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