Sejam f(x)=raizx-4 e g(x)=12 x+1, x >= 3. Calcular f circ g. Dê o domínio e o conjunto imagem de f(x), g(x) e (f circ g)(x).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=raizx-4, Df=xmid x>=4,
e
g(x)=tfrac12x+1, Dg=xmid x>=3
Pede-se a composição fcirc g, além de domínio e imagem de f, g e fcirc g.

Passo 2

Determinamos o domínio de f exigindo o radicando não negativo:
x-4>=0implies x>=4,
logo
Df=[4,infty)
Como raizcdot mapeia [0,infty) em [0,infty), a imagem de f é
Im(f)=[0,infty)

Passo 3

g(x)=tfrac12x+1 tem domínio dado no enunciado:
Dg=[3,infty)
Como a função é crescente (coeficiente positivo), sua imagem é o intervalo a partir de g(3):
g(3)=tfrac12cdot3+1=tfrac32+1=tfrac52,
portanto
Im(g)=[tfrac52,infty)

Passo 4

Agora a composição
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=raizl(tfrac12x+1r)-4 =raiztfrac12x-3 =raizx-62 =raizx-6raiz2
O domínio de fcirc g é a interseção de Dg com a condição g(x)in Df:
tfrac12x+1>=4implies x>=6,
e também x>=3; daí
Dfcirc g=[6,infty)

Passo 5

Por fim, para x>=6 o argumento tfracx-62 varia em [0,infty), e a raiz leva isso em [0,infty). Logo
Im(fcirc g)=[0,infty)

Resposta

Df=[4,infty), Im(f)=[0,infty).
Dg=[3,infty), Im(g)=[tfrac52,infty).
(fcirc g)(x)=raizx-6raiz2, Dfcirc g=[6,infty), Im(fcirc g)=[0,infty)

Exercícios relacionados