Quais dos seguintes limites são infinitos:
Escolha uma ou mais:
Escolha uma ou mais:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir se o limite abaixo tende ao infinito quando $ x $ se aproxima de 1:
Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre limites que tendem ao infinito e como simplificar expressões algébricas, especialmente fatorando polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a segunda fração
. Note que
pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão original com essa simplificação:
Perceba que
, então podemos substituí-lo:
Passo 4
Vamos colocar as duas frações sobre um denominador comum. O denominador comum é
. Então:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando $ x $ se aproxima de 1. Substituindo $ x = 1 $:
No numerador:
No denominador:
Então, temos uma forma
, o que indica que o limite tende ao infinito ou menos infinito. Para determinar qual, vamos verificar o comportamento da expressão perto de $ x = 1 $.
Passo 6
Vamos considerar $ x $ se aproximando de 1 pela direita ($ x \to 1^+
x \to 1^- $).
-
Se $ x \to 1^+ $, $ x - 1 $ é positivo e pequeno, então o denominador é positivo e tenderá a 0. O numerador é positivo (6). Então,
. -
Se $ x \to 1^- $, $ x - 1 $ é negativo e pequeno, então o denominador é negativo e tenderá a 0. O numerador é positivo (6). Então,
.
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe no sentido finito ou infinito.
Resposta
O limite
não existe, pois tende a
pela direita e a
pela esquerda.