Quais dos seguintes limites são infinitos:
Escolha uma ou mais:
lim x 1(1x-1-31-x^3)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir se o limite abaixo tende ao infinito quando $ x $ se aproxima de 1:
x
Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre limites que tendem ao infinito e como simplificar expressões algébricas, especialmente fatorando polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a segunda fração 31 - x^3. Note que 1 - x^3 pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)
Então, a fração fica:
31 - x^3 = 3(1 - x)(1 + x + x^2)

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão original com essa simplificação:
1x - 1 - 3(1 - x)(1 + x + x^2)
Perceba que 1 - x = -(x - 1), então podemos substituí-lo:
1x - 1 - 3-(x - 1)(1 + x + x^2) = 1x - 1 + 3(x - 1)(1 + x + x^2)

Passo 4

Vamos colocar as duas frações sobre um denominador comum. O denominador comum é (x - 1)(1 + x + x^2). Então:
1 cdot (1 + x + x^2) + 3(x - 1)(1 + x + x^2)
Simplificando o numerador:
1 + x + x^2 + 3 = x^2 + x + 4
Então, a expressão fica:
x^2 + x + 4(x - 1)(1 + x + x^2)

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando $ x $ se aproxima de 1. Substituindo $ x = 1 $:
No numerador:
x
No denominador:
x = 1
Então, temos uma forma 1^2 + 1 + 4 = 6 , o que indica que o limite tende ao infinito ou menos infinito. Para determinar qual, vamos verificar o comportamento da expressão perto de $ x = 1 $.

Passo 6

Vamos considerar $ x $ se aproximando de 1 pela direita ($ x \to 1^+ x x \to 1^- $).
  • Se $ x \to 1^+ $, $ x - 1 $ é positivo e pequeno, então o denominador é positivo e tenderá a 0. O numerador é positivo (6). Então, x to 1^+ .
  • Se $ x \to 1^- $, $ x - 1 $ é negativo e pequeno, então o denominador é negativo e tenderá a 0. O numerador é positivo (6). Então, x to 1^- .
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe no sentido finito ou infinito.

Resposta

O limite limx 1(1x-1 - 31-x^3) não existe, pois tende a +infty pela direita e a -infty pela esquerda.

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