A função gama é definida para todo x>0 por
Gamma(x)=integral0^+infty t^x-1 e^-t d t
Mostre que, para n inteiro positivo, Gamma(n+1)=n Gamma(n).

Passo 1

O enunciado define a função Gama por
Gamma(x)=integral0^+inftyt^x-1e^-t,dt,
e pede para mostrar a relação de recorrência
Gamma(n+1)=n,Gamma(n)
quando n é inteiro positivo. Para isso vamos usar o método de integração por partes, que é típico para esses integrais impróprios.

Passo 2

Recordando integração por partes: se escolhemos duas funções u(t) e v'(t), então
integral0^inftyu(t),v'(t),dt =l[u(t)v(t)r]0^infty -integral0^inftyu'(t),v(t),dt
No nosso caso tomamos
u(t)=t^n, v'(t)=e^-t,
pois isso gera um termo t^n-1 na derivada de u.

Passo 3

Com u(t)=t^n temos u'(t)=n,t^n-1 e com v'(t)=e^-t obtemos v(t)=-e^-t. Logo
Gamma(n+1) =integral0^inftyt^n,e^-t,dt =l[-t^n,e^-tr]0^infty -integral0^inftyn,t^n-1l(-e^-tr),dt

Passo 4

Agora avaliamos o termo de contorno: quando tto+infty, t^n e^-tto0, e em t=0, t^n e^-t=0^ncdot1=0. Assim o colchete é zero e ficamos com
Gamma(n+1) =nintegral0^inftyt^n-1e^-t,dt =n,Gamma(n)

Resposta

Gamma(n+1)=n,Gamma(n)

Exercícios relacionados