A função gama é definida para todo
por
Mostre que, para
inteiro positivo,
.
Mostre que, para
Passo 1
O enunciado define a função Gama por
e pede para mostrar a relação de recorrência
quando
é inteiro positivo. Para isso vamos usar o método de integração por partes, que é típico para esses integrais impróprios.
Passo 2
Recordando integração por partes: se escolhemos duas funções
e
, então
No nosso caso tomamos
pois isso gera um termo
na derivada de
.
Passo 3
Com
temos
e com
obtemos
. Logo
Passo 4
Agora avaliamos o termo de contorno: quando
,
, e em
,
. Assim o colchete é zero e ficamos com