A função gama é denotada por Gamma(p) e definida pela integral
Gamma(p+1)=integral0^infty e^-x x^p d x
Esta integral converge quando x infty, forall p in R. Sobre está função responda as questões a seguir:
Mostre que integral0^infty e^-x^2 d x=raizpi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai falar sobre a função gama, que é uma ferramenta importante em cálculo integral. A gente precisa entender como integrar funções exponenciais e usar algumas substituições legais para chegar na resposta. Nosso objetivo é mostrar que:
integral0^infty e^-x^2 , dx = raizpi2

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da função gama. Ela é definida por:
Gamma(p+1) = integral0^infty e^-x x^p , dx
Essa função é muito útil porque relaciona integrais com potências e expoentes.

Passo 3

Mas o que a gente quer aqui é integrar . Para isso, uma técnica comum é usar uma substituição de variável que simplifica a integral para algo que a gente já conhece.

Passo 4

Vamos fazer a seguinte substituição: seja t = x^2. Assim, temos que o diferencial dt = 2x , dx, ou seja, dx = dt2x. Mas como t = x^2, temos que x = raizt, então dx = dt2raizt.

Passo 5

Agora, substituímos na integral:
integral0^infty e^-x^2 , dx = integral0^infty e^-t cdot dt2raizt = 12 integral0^infty e^-t t^-1/2 , dt

Passo 6

Observamos que a integral resultante se parece com a definição da função gama. Comparando com Gamma(p+1) = integral0^infty e^-t t^p , dt, aqui temos t^-1/2, então p = -12.

Passo 7

Então, podemos escrever:
12 integral0^infty e^-t t^-1/2 , dt = 12 Gamma(-12 + 1) = 12 Gamma(12)

Passo 8

Sabemos que Gamma(12) é uma integral famosa que resulta na raiz de pi:
Gamma(12) = raizpi

Passo 9

Substituindo na expressão que tínhamos:
12 Gamma(12) = 12 raizpi

Resposta

Portanto,
integral0^infty e^-x^2 , dx = raizpi2

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