A função gama é denotada por
e definida pela integral
Esta integral converge quando
. Sobre está função responda as questões a seguir:
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai falar sobre a função gama, que é uma ferramenta importante em cálculo integral. A gente precisa entender como integrar funções exponenciais e usar algumas substituições legais para chegar na resposta. Nosso objetivo é mostrar que:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da função gama. Ela é definida por:
Essa função é muito útil porque relaciona integrais com potências e expoentes.
Passo 3
Mas o que a gente quer aqui é integrar . Para isso, uma técnica comum é usar uma substituição de variável que simplifica a integral para algo que a gente já conhece.
Passo 4
Vamos fazer a seguinte substituição: seja
. Assim, temos que o diferencial
, ou seja,
. Mas como
, temos que
, então
.
Passo 5
Agora, substituímos na integral:
Passo 6
Observamos que a integral resultante se parece com a definição da função gama. Comparando com
, aqui temos
, então
.
Passo 7
Então, podemos escrever:
Passo 8
Sabemos que
é uma integral famosa que resulta na raiz de pi:
Passo 9
Substituindo na expressão que tínhamos:
Resposta
Portanto,