Use transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais dadas. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação é:
y'' + 4y = t & se 0 <= t < 1 1 & se t >= 1
Além disso, temos as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 .
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais, especialmente quando o lado direito é uma função por partes (como aqui). Vamos usar propriedades da transformada e a função escalonadora de Heaviside para lidar com as diferentes partes da função.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função do lado direito usando a função de Heaviside u(t - a) , que é 0 para t < a e 1 para t >= a . Assim, podemos expressar a função por partes como:
f(t) = t cdot u(1 - t) + 1 cdot u(t - 1)
Isso facilita a aplicação da transformada de Laplace, pois a função escalonada u(t - a) tem propriedades bem definidas na transformada.
Passo 3
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly = Y(s)
Com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 , a transformada da equação fica:
s^2 Y(s) + 4 Y(s) = Lf(t)
Passo 4
Vamos calcular a transformada de f(t) :
Lf(t) = Lt cdot u(1 - t) + L1 cdot u(t - 1)
A transformada da função escalonada é:
Lu(t - a) = e^-a ss
E para t cdot u(t - a) , usamos:
Lt cdot u(t - a) = e^-a ss^2
Aplicando isso:
Lf(t) = e^-ss^2 + e^-ss
Passo 5
Substituindo de volta na equação transformada:
s^2 Y(s) + 4 Y(s) = e^-ss^2 + e^-ss
Fatorando Y(s) :
Y(s) (s^2 + 4) = e^-ss^2 + e^-ss
Isolando Y(s) :
Y(s) = e^-ss^2 (s^2 + 4) + e^-ss (s^2 + 4)
Passo 6
Agora, para encontrar y(t) , precisamos calcular a transformada inversa de Y(s) . Observando as frações, podemos separar os termos:
Y(s) = e^-s ( 1s^2 (s^2 + 4) + 1s (s^2 + 4) )
Para simplificar, usamos frações parciais ou tabelas de transformadas conhecidas.
Passo 7
Calculando a transformada inversa de cada termo:
Para 1s^2 (s^2 + 4) , a transformada inversa é t sin(2t)4 .
Para 1s (s^2 + 4) , a transformada inversa é 1 - cos(2t)4 .