(2,5 pts) Calcule a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{e^{-3 s}}{s^{2}-4 s}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{e^{-3s}}{s^{2}-4s}.
O conteúdo necessário é o Teorema do Deslocamento no Domínio de s (segunda fórmula de deslocamento) e frações parciais para inverter \frac{1}{s(s-4)}.

Passo 2

Reconhecemos que
F(s)=e^{-3s}\,G(s) \quad\text{com}\quad G(s)=\frac{1}{s(s-4)}.
Pelo Teorema do Deslocamento, se \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=g(t), então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-3s}G(s)\} =H(t-3)\,g(t-3),
onde H é a função de Heaviside.

Passo 3

Vamos calcular \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}\). Primeiro fazemos frações parciais: \[\frac{1}{s(s-4)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s-4}.
Temos
1 = A(s-4)+B s = (A+B)s -4A.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+B = 0,\\\\ -4A = 1, \end{cases}
logo A=-\tfrac{1}{4}\] e \(B=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Portanto
G(s) =\,-\frac{1}{4}\,\frac{1}{s} \;+\;\frac{1}{4}\,\frac{1}{s-4}.
Invertendo cada termo:
g(t) =-\tfrac{1}{4}\,1 \;+\;\tfrac{1}{4}\,e^{4t} =\tfrac{1}{4}\bigl(e^{4t}-1\bigr).

Passo 5

Aplicando o deslocamento, a transformada inversa fica
f(t) =H(t-3)\;g(t-3) =H(t-3)\;\frac{1}{4}\Bigl(e^{4(t-3)}-1\Bigr).

Resposta

f(t) =H(t-3)\,\frac{1}{4}\bigl(e^{4(t-3)}-1\bigr).

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