(Função Logarítmica) Considere a função composta g(x)=\sqrt{\ln (x)}.
(a) Determine o domínio de g(x) no conjunto dos números reais.
(b) Qual a condição necessária para que o gráfico desta função intercepte o eixo x ?

Passo 1

O enunciado fornece a função composta g(x)=\sqrt{\ln(x)} e pede duas coisas:
  • (a) Determinar o domínio de g(x) no conjunto dos números reais.
  • (b) Qual a condição necessária para que o gráfico desta função intercepte o eixo x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é uma composição da função logaritmo natural \ln(x) com a função raiz quadrada \sqrt{\;\cdot\;}.
  • Não há nenhuma outra informação adicional (por exemplo, figura).

Passo 2

Vamos entender as restrições que cada parte da composição impõe, uma por vez, antes de juntá-las.
A primeira etapa é lembrar a condição de existência do logaritmo natural \ln(x). A função \ln(x) só está definida para argumentos estritamente positivos. Em linguagem matemática:
\text{condição para } \ln(x)\text{ existir:}\qquad x>0.çã
Explicação didática: \ln(x) é o logaritmo de base e. Não faz sentido (no domínio real) calcular \ln(x) quando x\le0, porque e^t>0 para todo t\in\mathbb{R}; portanto nenhum número real t satisfaz e^t=x se x\le0.

Passo 3

A segunda etapa é lembrar a condição para a raiz quadrada \sqrt{y} (no contexto real). A raiz quadrada real existe apenas quando o radicando é não negativo:
\text{condição para } \sqrt{y}\text{ existir (no conjunto dos reais):}\qquad y\ge0.çã
No nosso caso o radicando é y=\ln(x). Portanto devemos exigir
\ln(x)\ge 0.
Explicação didática: a raiz quadrada real de um número negativo não existe nos reais (aparecem números complexos), e em prova de graduação normalmente procura-se o domínio real, então exigimos não negatividade.

Passo 4

Agora combinamos as duas condições: precisamos de x>0 (para \ln(x) existir) e de \ln(x)\ge0 (para \sqrt{\ln(x)} existir). A condição mais forte é simplesmente
\ln(x)\ge 0.
Porque se \ln(x)\ge0 então já segue que \ln(x) existe, logo x>0 fica automaticamente satisfeito. Agora resolvemos a desigualdade \ln(x)\ge 0.
Usamos a propriedade da função exponencial e^{(\cdot)}, que é a função inversa de \ln(\cdot) e é estritamente crescente. Aplicando a exponenciação (função crescente preserva desigualdades) temos:
\ln(x)\ge 0 \iff e^{\ln(x)} \ge e^{0} \iff x \ge 1.
Explicação didática: como \ln é crescente, \ln(x)\ge 0 ocorre exatamente quando x é maior ou igual ao número cujo logaritmo é zero; \ln(1)=0, então a fronteira é x=1.
Portanto o domínio da função é o conjunto dos x tais que x\ge 1.

Passo 5

Conferindo extremos e comportamento: em x=1 temos \ln(1)=0 e então
g(1)=\sqrt{\ln(1)}=\sqrt{0}=0,
então x=1 pertence ao domínio e produz valor 0. Para x>1 temos \ln(x)>0 e g(x)>0. Para 0<x<1 temos \ln(x)<0 e a raiz não está definida no conjunto dos reais — por isso esses x ficam fora do domínio.

Passo 6

Agora respondemos (b): condição necessária para que o gráfico intercepte o eixo x. Interceptar o eixo x significa existir x tal que a ordenada y=g(x) seja zero. Logo precisamos resolver
\sqrt{\ln(x)} = 0.
Elevar ambos os lados ao quadrado (ou usar que a raiz é zero só quando o radicando é zero) dá:
\ln(x)=0 \iff x = e^{0} = 1.
Além disso, por argumento anterior, x=1 pertence ao domínio. Explicação didática: a raiz quadrada real nunca é negativa, então a única possibilidade de cruzar o eixo x é ter exatamente valor zero; isso corresponde ao radicando igual a zero.

Resposta

Domínio: [1,\infty)
Condição para interceptar o eixo x: x=1 (equivalente a \ln(x)=0)

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