(Função Logarítmica) Considere a função composta
.
(a) Determine o domínio de
no conjunto dos números reais.
(b) Qual a condição necessária para que o gráfico desta função intercepte o eixo
?
(a) Determine o domínio de
(b) Qual a condição necessária para que o gráfico desta função intercepte o eixo
Passo 1
O enunciado fornece a função composta
e pede duas coisas:
- (a) Determinar o domínio de
no conjunto dos números reais. - (b) Qual a condição necessária para que o gráfico desta função intercepte o eixo
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é uma composição da função logaritmo natural
com a função raiz quadrada . - Não há nenhuma outra informação adicional (por exemplo, figura).
Passo 2
Vamos entender as restrições que cada parte da composição impõe, uma por vez, antes de juntá-las.
A primeira etapa é lembrar a condição de existência do logaritmo natural
. A função
só está definida para argumentos estritamente positivos. Em linguagem matemática:
Explicação didática:
é o logaritmo de base
. Não faz sentido (no domínio real) calcular
quando
, porque
para todo
; portanto nenhum número real
satisfaz
se
.
Passo 3
A segunda etapa é lembrar a condição para a raiz quadrada
(no contexto real). A raiz quadrada real existe apenas quando o radicando é não negativo:
No nosso caso o radicando é
. Portanto devemos exigir
Explicação didática: a raiz quadrada real de um número negativo não existe nos reais (aparecem números complexos), e em prova de graduação normalmente procura-se o domínio real, então exigimos não negatividade.
Passo 4
Agora combinamos as duas condições: precisamos de
(para
existir) e de
(para
existir). A condição mais forte é simplesmente
Porque se
então já segue que
existe, logo
fica automaticamente satisfeito. Agora resolvemos a desigualdade
.
Usamos a propriedade da função exponencial
, que é a função inversa de
e é estritamente crescente. Aplicando a exponenciação (função crescente preserva desigualdades) temos:
Explicação didática: como
é crescente,
ocorre exatamente quando
é maior ou igual ao número cujo logaritmo é zero;
, então a fronteira é
.
Portanto o domínio da função é o conjunto dos
tais que
.
Passo 5
Conferindo extremos e comportamento: em
temos
e então
então
pertence ao domínio e produz valor
. Para
temos
e
. Para
temos
e a raiz não está definida no conjunto dos reais — por isso esses
ficam fora do domínio.
Passo 6
Agora respondemos (b): condição necessária para que o gráfico intercepte o eixo
. Interceptar o eixo
significa existir
tal que a ordenada
seja zero. Logo precisamos resolver
Elevar ambos os lados ao quadrado (ou usar que a raiz é zero só quando o radicando é zero) dá:
Além disso, por argumento anterior,
pertence ao domínio. Explicação didática: a raiz quadrada real nunca é negativa, então a única possibilidade de cruzar o eixo
é ter exatamente valor zero; isso corresponde ao radicando igual a zero.
Resposta
Domínio:
Condição para interceptar o eixo
:
(equivalente a
)