Se uma função não satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo, podemos afirmar que o método irá divergir?
Passo 1
Beleza, vamos lá: o enunciado pergunta se, quando uma função não satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo, podemos afirmar que o método sempre vai divergir.
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo de Banach (critério de contração) e diferença entre condição suficiente e necessária.
O que vamos precisar: entender bem o que diz o critério de convergência (|g′(x)|≤k<1 garante convergência) e saber que “suficiente” não é “obrigatório”.
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo de Banach (critério de contração) e diferença entre condição suficiente e necessária.
O que vamos precisar: entender bem o que diz o critério de convergência (|g′(x)|≤k<1 garante convergência) e saber que “suficiente” não é “obrigatório”.
Passo 2
Primeiro, recapitulemos o critério de convergência. A ideia básica do método de iteração de ponto fixo é: dado x_{n+1}=g(x_n), se
- g é contínua num intervalo [a,b] que mapeia [a,b] em si mesmo, e
- |g′(x)|≤k<1 para todo x∈[a,b],
então Banach garante que x_n converge para o único ponto fixo x* (g(x*)=x*).
Teoria envolvida: o Teorema do Ponto Fixo de Banach diz que essa condição é suficiente (ou seja, se ela vale, a convergência é garantida).
Passo 3
Agora, “suficiente” não significa “necessário”. Ou seja, mesmo que |g′(x)|<1 seja uma mão na roda para provar convergência, pode ocorrer de g não satisfazer esse |g′(x)|<1 globalmente e, ainda assim, o método convergir em certas situações.
Exemplo informal:
- Considere g(x)=cos(x). Temos |g′(x)| = |−sin(x)| ≤1, e em alguns pontos |g′(x)| chega a 1, quebrando a condição estrita |g′|<1. Mesmo assim, iterações x_{n+1}=cos(x_n) convergem para ~0.739… partindo de vários palpites.
Portanto, a falha no critério de contração não implica “prova” de divergência, pois pode haver convergência por outros motivos (forma de g, região de iteração, etc.).
Passo 4
Conclusão clara:
- Se o critério de Banach vale → converge (síntese: condição suficiente).
- Se o critério não vale → não podemos concluir nada definitivo; pode divergir, pode convergir, depende do caso.
Resposta
Não. O critério de contração (|g′(x)|<1) é suficiente para garantir convergência, mas não é condição necessária. Se ele falha, não dá para afirmar que o método vai divergir em todos os casos.