Para a função f e o número a dados, expresse cada um dos seguintes limites como infty,-infty ou nexists:
lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e lim x a f(x)
x^2-3 xx^2-6 x+9, a=3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2-3xx^2-6x+9
e pede os limites laterais em a=3: limxto3^-f(x), limxto3^+f(x) e o limite bilateral limxto3f(x). O conteúdo principal aqui é cálculo de limites que envolvem assíntotas verticais.

Passo 2

Para entender o comportamento em x=3, fatoramos numerador e denominador:
x^2-3x = x(x-3), x^2-6x+9 = (x-3)^2
Logo, para xneq3,
f(x) =x(x-3)(x-3)^2 =xx-3

Passo 3

Analisando limxto3^-f(x): quando x se aproxima de 3 pela esquerda, x-3 é um número negativo muito pequeno, e xapprox3>0. Portanto
xx-3 ;longrightarrow; 3negativo pequenino ;=;-,infty
Isto é,
limxto3^-f(x)=-infty

Passo 4

Analisando limxto3^+f(x): agora x-3 é positivo e pequeno, com xapprox3>0. Logo
xx-3 ;longrightarrow; 3positivo pequenino ;=;+infty
Isto é,
limxto3^+f(x)=+infty

Passo 5

Como as duas “metades” tendem a sinais opostos de infinito, não há um valor único para o limite bilateral. Logo
limxto3f(x) não existe ã

Resposta

limxto3^-f(x)=-infty,
limxto3^+f(x)=+infty,
limxto3f(x)nexists.

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