Para uma partícula em uma caixa bidimensional com dimensões
e
, a função de onda é:
onde
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula confinada numa “caixinha” bidimensional com lados de comprimentos $ L_x $ e $ L_y $. A função de onda dessa partícula é dada por:
Onde $ n_x $ e $ n_y $ são números naturais ($ \mathbb{N} $). Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante $ A $ que garante que a função de onda esteja normalizada. Normalizar significa que a probabilidade total de encontrar a partícula dentro da caixa é 1.
Passo 2
Para normalizar a função de onda, precisamos garantir que a integral do quadrado da função de onda sobre toda a área da caixa seja igual a 1. Em termos matemáticos, isso fica:
Vamos então substituir $ \psi(x, y) $ na integral:
Passo 3
Podemos separar a integral dupla em duas integrais simples, uma em relação a $ x $ e outra em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, precisamos calcular essas integrais. Uma fórmula útil aqui é:
Isso vale para qualquer número natural $ n $. Aplicando isso às nossas integrais:
Passo 5
Substituindo esses resultados na equação anterior:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, isolamos $ A^2 $:
E tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ A $:
Resposta
A constante de normalização é: