Para uma partícula em uma caixa bidimensional com dimensões Lx e Ly, a função de onda é:
psi(x, y)=A sin (nx pi xLx) sin (ny pi yLy), x in[0, Lx], y in[0, Ly]
onde nx, ny in N. Calcule A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula confinada numa “caixinha” bidimensional com lados de comprimentos $ L_x $ e $ L_y $. A função de onda dessa partícula é dada por:
Lx
Onde $ n_x $ e $ n_y $ são números naturais ($ \mathbb{N} $). Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante $ A $ que garante que a função de onda esteja normalizada. Normalizar significa que a probabilidade total de encontrar a partícula dentro da caixa é 1.

Passo 2

Para normalizar a função de onda, precisamos garantir que a integral do quadrado da função de onda sobre toda a área da caixa seja igual a 1. Em termos matemáticos, isso fica:
integral0^Lx integral0^Ly |psi(x, y)|^2 , dy , dx = 1
Vamos então substituir $ \psi(x, y) $ na integral:
psi(x, y)

Passo 3

Podemos separar a integral dupla em duas integrais simples, uma em relação a $ x $ e outra em relação a $ y $:
x

Passo 4

Agora, precisamos calcular essas integrais. Uma fórmula útil aqui é:
integral0^L sin^2(n pi xL) dx = L2
Isso vale para qualquer número natural $ n $. Aplicando isso às nossas integrais:
n
integral0^Lx sin^2(nx pi xLx) dx = Lx2

Passo 5

Substituindo esses resultados na equação anterior:
A^2 ( Lx2 ) ( Ly2 ) = 1
Isso simplifica para:
A^2 cdot Lx Ly4 = 1

Passo 6

Agora, isolamos $ A^2 $:
A^2
E tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ A $:
A^2 = 4Lx Ly

Resposta

A constante de normalização é:
A = 2raizLx Ly

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