A função de onda de uma partícula livre em t=0 é dada por
Psi(x, 0)= 0, & x<-b A, & -b <= x <= 3 b 0, & x>3 b
Qual é a probabilidade de encontrar a partícula dentro do intervalo x in[0, b] em t=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica! A gente tem uma função de onda, Psi(x, 0), que descreve a posição de uma partícula livre no tempo t = 0. A função está definida de maneira diferente em três intervalos de x:
Psi(x, 0)= 0, & x < -b A, & -b <= x <= 3b 0, & x > 3b
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de encontrar essa partícula no intervalo x in [0, b] no tempo inicial t = 0. Para isso, vamos precisar entender como normalizar a função de onda e calcular a probabilidade usando a integração da densidade de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser igual a 1. A normalização é importante porque garante que nossa função de onda representa uma probabilidade válida.
A condição de normalização é:
integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Vamos calcular essa integral usando a definição da Psi(x, 0).

Passo 3

Como a função Psi(x, 0) é zero fora do intervalo [-b, 3b], a integral simplifica para:
integral-b^3b |A|^2 dx = 1
Aqui, |A|^2 é o módulo ao quadrado da amplitude A.

Passo 4

Resolvendo a integral:
|A|^2 integral-b^3b dx = |A|^2 (3b - (-b)) = |A|^2 times 4b = 1
Então, temos:
|A|^2 times 4b = 1 implies |A|^2 = 14b
Assumindo que A é real positivo, podemos escrever:
A = 12raizb

Passo 5

Agora que temos o valor de A, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo x in [0, b]. A probabilidade P é dada por:
P = integral0^b |Psi(x, 0)|^2 dx
Substituindo Psi(x, 0) = A nesse intervalo:
P = integral0^b A^2 dx = A^2 times b

Passo 6

Substituindo o valor de A que encontramos:
P = (12raizb)^2 times b = 14b times b = 14

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo x in [0, b] em t = 0 é 14 ou 25%.

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