Resolva o poço potencial infinito em uma dimensão para o caso em que a largura do poço é
,
, onde uma partícula de massa
se move em um potencial unidimensional.
Encontre os autovalores de energia
.
Encontre os autovalores de energia
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o poço potencial infinito em uma dimensão. A gente tem um poço com largura total de
, ou seja, vai de
até
. Dentro desse poço, uma partícula de massa
se movimenta em um potencial unidimensional. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores de energia
dessa partícula. Para isso, vamos usar a Equação de Schrödinger independente do tempo e aplicar as condições de contorno específicas desse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Equação de Schrödinger para uma partícula em um potencial unidimensional:
Onde:
-
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa da partícula, -
é a função de onda, -
é o potencial, -
é a energia total da partícula.
No nosso caso, dentro do poço (
), o potencial
, e fora do poço,
.
Passo 3
Como
fora do poço, a função de onda
deve ser zero nessas regiões porque a partícula não pode existir lá. Então, focamos apenas na região onde
:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar:
Vamos chamar
, então a equação fica:
Passo 4
A solução geral dessa equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
As condições de contorno são que a função de onda
deve ser zero nas bordas do poço, ou seja, em
e
:
Vamos aplicar essas condições para encontrar as constantes
e
e relacionar
com os valores possíveis de energia
.
Passo 6
Primeiro, aplicamos a condição em
:
Lembrando que
e
, temos:
Agora, aplicamos a condição em
:
Passo 7
Temos o seguinte sistema de equações:
Somando as duas equações:
Para que haja soluções não triviais (ou seja,
e
não ambos zero), devemos ter:
Passo 8
A equação
é satisfeita quando:
Simplificando:
Passo 9
Agora, lembrando que
, podemos resolver para
:
Simplificando:
Resposta
Os autovalores de energia
para a partícula no poço potencial infinito de largura
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