Resolva o poço potencial infinito em uma dimensão para o caso em que a largura do poço é 4 a, -2 a, onde uma partícula de massa m se move em um potencial unidimensional.
Encontre os autovalores de energia En.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o poço potencial infinito em uma dimensão. A gente tem um poço com largura total de 4a, ou seja, vai de -2a até 2a. Dentro desse poço, uma partícula de massa m se movimenta em um potencial unidimensional. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores de energia En dessa partícula. Para isso, vamos usar a Equação de Schrödinger independente do tempo e aplicar as condições de contorno específicas desse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Schrödinger para uma partícula em um potencial unidimensional:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x) psi(x) = E psi(x)
Onde:
  • hbar é a constante de Planck reduzida,
  • m é a massa da partícula,
  • psi(x) é a função de onda,
  • V(x) é o potencial,
  • E é a energia total da partícula.
No nosso caso, dentro do poço ( -2a < x < 2a), o potencial V(x) = 0, e fora do poço, V(x) = infty.

Passo 3

Como V(x) = infty fora do poço, a função de onda psi(x) deve ser zero nessas regiões porque a partícula não pode existir lá. Então, focamos apenas na região onde V(x) = 0:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
Podemos rearranjar essa equação para facilitar:
d^2 psi(x)dx^2 + 2mEhbar^2 psi(x) = 0
Vamos chamar 2mEhbar^2 = k^2, então a equação fica:
d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0

Passo 4

A solução geral dessa equação diferencial é:
psi(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Onde A e B são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

As condições de contorno são que a função de onda psi(x) deve ser zero nas bordas do poço, ou seja, em x = -2a e x = 2a:
psi(-2a) = 0 psi(2a) = 0
Vamos aplicar essas condições para encontrar as constantes A e B e relacionar k com os valores possíveis de energia En.

Passo 6

Primeiro, aplicamos a condição em x = -2a:
0 = A sin(-2a k) + B cos(-2a k)
Lembrando que sin(-theta) = -sin(theta) e cos(-theta) = cos(theta), temos:
0 = -A sin(2a k) + B cos(2a k)
Agora, aplicamos a condição em x = 2a:
0 = A sin(2a k) + B cos(2a k)

Passo 7

Temos o seguinte sistema de equações:
- A sin(2a k) + B cos(2a k) = 0 A sin(2a k) + B cos(2a k) = 0
Somando as duas equações:
0 = 2 B cos(2a k) Rightarrow B cos(2a k) = 0
Para que haja soluções não triviais (ou seja, A e B não ambos zero), devemos ter:
cos(2a k) = 0

Passo 8

A equação cos(2a k) = 0 é satisfeita quando:
2a k = pi2 + n pi onde n = 1, 2, 3, dots
Simplificando:
k = (2n + 1)pi4a

Passo 9

Agora, lembrando que k^2 = 2mEhbar^2, podemos resolver para E:
En = hbar^2 k^22m = hbar^22m ( (2n + 1)pi4a )^2
Simplificando:
En = (2n + 1)^2 pi^2 hbar^232 m a^2

Resposta

Os autovalores de energia En para a partícula no poço potencial infinito de largura 4a são dados por:
En = (2n + 1)^2 pi^2 hbar^232 m a^2 onde n = 0, 1, 2, dots

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