Uma função está representada (em t=0) pela função de onda
psi(x, 0)= A(a^2-x^2), & se -a <= x <=+a 0, & caso contrário á
Determine a constante de normalização A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre normalizar uma função de onda, que é um conceito da mecânica quântica. A função de onda nos dá informações sobre o estado de uma partícula, e para que ela faça sentido fisicamente, ela precisa estar “normalizada”. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar no espaço deve ser igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar calcular integrais e trabalhar com funções matemáticas. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. A condição de normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso é escrito como:
integral-infty^+infty |psi(x, 0)|^2 dx = 1
Aqui, psi(x, 0) é a nossa função de onda no tempo t=0.

Passo 3

A função de onda fornecida é:
psi(x, 0)= A(a^2-x^2), & se -a <= x <= a 0, & caso contrário á
Como psi(x, 0) é zero fora do intervalo -a <= x <= a, nossa integral de normalização só precisa ser calculada nesse intervalo. Então, substituindo na condição de normalização, temos:
integral-a^a |A(a^2 - x^2)|^2 dx = 1
Como A(a^2 - x^2) é real, podemos simplificar para:
A^2 integral-a^a (a^2 - x^2)^2 dx = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral-a^a (a^2 - x^2)^2 dx. Primeiro, expandimos o integrando:
(a^2 - x^2)^2 = a^4 - 2a^2x^2 + x^4
Então, a integral fica:
integral-a^a (a^4 - 2a^2x^2 + x^4) dx = integral-a^a a^4 dx - 2a^2 integral-a^a x^2 dx + integral-a^a x^4 dx
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente:
  1. integral-a^a a^4 dx = a^4 cdot (2a) = 2a^5
  2. integral-a^a x^2 dx = 2 cdot integral0^a x^2 dx = 2 cdot [x^33]0^a = 2a^33
  3. integral-a^a x^4 dx = 2 cdot integral0^a x^4 dx = 2 cdot [x^55]0^a = 2a^55
Agora, substituindo de volta:
2a^5 - 2a^2 cdot 2a^33 + 2a^55 = 2a^5 - 4a^53 + 2a^55
Para somar esses termos, vamos achar um denominador comum, que é 15:
= 30a^515 - 20a^515 + 6a^515 = 16a^515

Passo 5

Agora que sabemos que:
A^2 cdot 16a^515 = 1
Vamos resolver para A^2:
A^2 = 1516a^5
Para achar A, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
A = raiz1516a^5 = raiz154a^5/2

Resposta

A constante de normalização A é:
A = raiz154, a^5/2

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