Uma função está representada
pela função de onda
Determine a constante de normalização
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre normalizar uma função de onda, que é um conceito da mecânica quântica. A função de onda nos dá informações sobre o estado de uma partícula, e para que ela faça sentido fisicamente, ela precisa estar “normalizada”. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar no espaço deve ser igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar calcular integrais e trabalhar com funções matemáticas. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. A condição de normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso é escrito como:
Aqui,
é a nossa função de onda no tempo
.
Passo 3
A função de onda fornecida é:
Como
é zero fora do intervalo
, nossa integral de normalização só precisa ser calculada nesse intervalo. Então, substituindo na condição de normalização, temos:
Como
é real, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Primeiro, expandimos o integrando:
Então, a integral fica:
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente:
Agora, substituindo de volta:
Para somar esses termos, vamos achar um denominador comum, que é 15:
Passo 5
Agora que sabemos que:
Vamos resolver para
:
Para achar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A constante de normalização
é: