Um próton tem a energia cinética de 1 MeV . Se seu momento for medido com uma incerteza de 5 %, qual a incerteza mínima da posição?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um próton com energia cinética de 1 MeV e queremos descobrir qual é a incerteza mínima na posição desse próton, dado que a incerteza na medida do seu momento é de 5%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética, momento e o Princípio da Incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a energia cinética do próton com o seu momento. A energia cinética ( K) de uma partícula pode ser expressa pela fórmula:
K = p^22m
Onde:
  • K é a energia cinética,
  • p é o momento,
  • m é a massa da partícula.
Vamos rearranjar essa equação para encontrar o momento ( p):
p = raiz2mK

Passo 3

Agora, precisamos calcular o momento do próton usando a energia cinética fornecida. Primeiro, vamos converter a energia cinética de MeV para joules para facilitar os cálculos. Sabemos que:
1, eV = 1.602 times 10^-19, J
Então,
1, MeV = 1 times 10^6, eV = 1 times 10^6 times 1.602 times 10^-19, J = 1.602 times 10^-13, J
Portanto, a energia cinética K = 1.602 times 10^-13, J.
A massa do próton ( m) é aproximadamente 1.673 times 10^-27, kg.
Agora, calculamos o momento:
p = raiz2 times 1.673 times 10^-27, kg times 1.602 times 10^-13, J p = raiz2 times 1.673 times 1.602 times 10^-40 p = raiz5.366 times 10^-40 p approx 2.318 times 10^-20, kg·m/s

Passo 4

A incerteza no momento ( De) é de 5% do valor do momento calculado. Então,
De

Passo 5

Agora, vamos usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que nos diz que:
Onde:
  • De é a incerteza na posição,
  • hbar é a constante de Planck reduzida, hbar approx 1.055 times 10^-34, J·s.
Substituindo os valores:

Resposta

A incerteza mínima na posição do próton é de aproximadamente 4.56 times 10^-14, metros.

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