Obtenha o teorema de Poynting, partindo das equações de Maxwell no vácuo na presença de uma densidade de corrente elétrica Jf :
partialpartial t(u mech +u em )=-nabla cdot S
Nessa expressão, o vetor de Poynting é dado por:
S equiv 1mu0(E times B)
Os termos u mech e u em representam as densidades de energia mecânica e eletromagnética, respectivamente. Defina claramente esses dois termos, em função do campo elétrico, do campo magnético e da densidade de corrente elétrica.

Passo 1

O enunciado pede derivar o teorema de Poynting a partir das equações de Maxwell no vácuo com densidade de corrente livre Jf. O objetivo é mostrar a conservação de energia eletromagnética e mecânica na forma
partialpartial tl(umech + uemr) = -nabla cdot S,
onde S = tfrac1mu0(Etimes B). Vamos usar as equações de Maxwell-Faraday e Maxwell-Ampère e identidades vetoriais, definindo as densidades de energia a partir dos termos que aparecem.

Passo 2

As equações de Maxwell relevantes no vácuo são
nabla times E = - partial Bpartial t
nabla times B = mu0 ,Jf + mu0 ,varepsilon0 ,partial Epartial t
Também precisamos da identidade vetorial
nabla cdot (Etimes B) = Bcdot (nabla times E) - Ecdot (nabla times B)

Passo 3

Aplicando essa identidade, formamos
Ecdot (nablatimes B) - Bcdot (nablatimes E) = - nabla cdot (Etimes B)
Substituindo as equações de Maxwell
Ecdot l(mu0 Jf + mu0 varepsilon0 partialt Er) - Bcdot l(-partialt Br) = - nabla cdot (Etimes B),
resulta
- nabla cdot (Etimes B) = mu0,Ecdot Jf + mu0varepsilon0,Ecdot partialt E + Bcdot partialt B

Passo 4

Dividindo por mu0 e reescrevendo
- nabla cdot S = Ecdot Jf + varepsilon0,Ecdot partialt E + 1mu0,Bcdot partialt B
Reconhecendo derivadas temporais, definimos
uem = varepsilon02lvertErvert^2 + 12mu0lvertBrvert^2, partialt uem = varepsilon0,Ecdot partialt E + 1mu0,Bcdot partialt B
Assim surge
- nabla cdot S = Ecdot Jf + partialt uem

Passo 5

O termo Ecdot Jf corresponde à potência fornecida pelas forças elétricas às cargas livres por unidade de volume, isto é,
Ecdot Jf = partialt umech,
onde umech é a densidade de energia mecânica das cargas livres. Substituindo em
partialt uem + Ecdot Jf + nabla cdot S = 0
obtemos a forma final do teorema de Poynting:
partialpartial tl(uem + umechr) = - nabla cdot S

Resposta

uem = varepsilon02lvertErvert^2 + 12mu0lvertBrvert^2,
partialt umech = Ecdot Jf,
de modo que umech é a densidade de energia mecânica das cargas livres cujo incremento temporal é dado por Ecdot Jf.

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