Obtenha o teorema de Poynting, partindo das equações de Maxwell no vácuo na presença de uma densidade de corrente elétrica
:
Nessa expressão, o vetor de Poynting é dado por:
Os termos
e
representam as densidades de energia mecânica e eletromagnética, respectivamente. Defina claramente esses dois termos, em função do campo elétrico, do campo magnético e da densidade de corrente elétrica.
Passo 1
O enunciado pede derivar o teorema de Poynting a partir das equações de Maxwell no vácuo com densidade de corrente livre
. O objetivo é mostrar a conservação de energia eletromagnética e mecânica na forma
onde
. Vamos usar as equações de Maxwell-Faraday e Maxwell-Ampère e identidades vetoriais, definindo as densidades de energia a partir dos termos que aparecem.
Passo 2
As equações de Maxwell relevantes no vácuo são
Também precisamos da identidade vetorial
Passo 3
Aplicando essa identidade, formamos
Substituindo as equações de Maxwell
resulta
Passo 4
Dividindo por
e reescrevendo
Reconhecendo derivadas temporais, definimos
Assim surge
Passo 5
O termo
corresponde à potência fornecida pelas forças elétricas às cargas livres por unidade de volume, isto é,
onde
é a densidade de energia mecânica das cargas livres. Substituindo em
obtemos a forma final do teorema de Poynting:
Resposta
de modo que