OBS: A notação [7.1:3] indica o exercício número 3 da Seção 7.1 do Livro-texto: Stewart (
ed).
[Seção 7.8] Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
[18]
[Seção 7.8] Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
[18]
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos estudar a convergência da integral imprópria
onde aplicamos o conceito de limite em intervalo infinito e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Observamos que o integrando
tem raízes do denominador em
e
, ambas fora do intervalo
. Portanto não há descontinuidade interna e a única impropriedade vem do limite superior
.
Passo 3
Reescrevemos a integral como limite
Passo 4
Para encontrar a antiderivada fazemos frações parciais. Buscamos
e
tais que
Multiplicando por
e comparando coeficientes obtemos
logo
e
, e portanto
Passo 5
Integrando de
a
temos
Passo 6
Tomando o limite
, a razão
implica
portanto a integral converge e vale
.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.