OBS: A notação [7.1:3] indica o exercício número 3 da Seção 7.1 do Livro-texto: Stewart ( 8^a ed).
[Seção 7.8] Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
[18] integral0^infty 1z^2+3 z+2 d z

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos estudar a convergência da integral imprópria
integral0^infty 1z^2+3z+2,dz,
onde aplicamos o conceito de limite em intervalo infinito e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Observamos que o integrando 1z^2+3z+2 tem raízes do denominador em z=-1 e z=-2, ambas fora do intervalo [0,infty). Portanto não há descontinuidade interna e a única impropriedade vem do limite superior ztoinfty.

Passo 3

Reescrevemos a integral como limite
integral0^infty1z^2+3z+2,dz =limRtoinftyintegral0^R1z^2+3z+2,dz

Passo 4

Para encontrar a antiderivada fazemos frações parciais. Buscamos A e B tais que
1z^2+3z+2=Az+1+Bz+2
Multiplicando por (z+1)(z+2) e comparando coeficientes obtemos
A+B=0, 2A+B=1,
logo A=1 e B=-1, e portanto
1z^2+3z+2=1z+1-1z+2

Passo 5

Integrando de 0 a R temos
integral0^R!l(1z+1-1z+2r),dz =l[ln(z+1)-ln(z+2)r]0^R =lnR+1R+2+ln2

Passo 6

Tomando o limite Rtoinfty, a razão R+1R+2to1 implica
limRtoinftylnR+1R+2=0,
portanto a integral converge e vale 0+ln2=ln2.

Resposta

A integral converge e seu valor é ln2.

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