OBS: A notação [7.1:3] indica o exercício número 3 da Seção 7.1 do Livro-texto: Stewart ( 8^a ed).
[7.8:56] Calcule
integral2^infty 1x raizx^2-4 d x
pelo mesmo método do Exercício [7.8:55].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
integral2^infty1xraizx^2-4,dx
usando trigonometria, como no Exercício [7.8:55]. O conteúdo aqui é substituição trigonométrica apropriada para integrais envolvendo raizx^2-a^2 e depois avaliar o limite quando o novo ângulo tende a pi/2.

Passo 2

Fazemos a substituição clássica para raizx^2-a^2 com a=2:
x = 2sectheta, thetainl[0,tfracpi2r),
então
raizx^2-4 = raiz4sec^2theta - 4 = 2tantheta, dx = 2secthetatantheta,dtheta
No integrando,
x,raizx^2-4 = (2sectheta),(2tantheta)=4secthetatantheta,
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1xraizx^2-4,dx = 14secthetatantheta,l(2secthetatantheta,dthetar) = 24,dtheta = tfrac12,dtheta

Passo 3

Precisamos também transformar os limites de integração:
quando x=2 temos sectheta=1, ou seja theta=0;
quando xtoinfty temos secthetatoinfty, ou seja thetatotfracpi2^-.
Assim o integral vira
integral2^infty1xraizx^2-4,dx = integral0^pi/2tfrac12,dtheta

Passo 4

Esse integral em theta é trivial:
integral0^pi/2tfrac12,dtheta = 12l[thetar]0^pi/2 = 12cdotpi2 = pi4

Resposta

pi4

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