\operatorname{tg}\left(\operatorname{sec} ^{-1} 4\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: temos a expressão \operatorname{tg}\!\left(\operatorname{sec}^{-1} 4\right). Isso significa que temos um ângulo \theta tal que \theta=\operatorname{sec}^{-1}4 (ou seja, \operatorname{sec}\theta=4) e o que nos pedem é o valor da tangente desse \theta, isto é, \operatorname{tg}(\theta).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\operatorname{sec}\theta=4.
Queremos: \operatorname{tg}(\theta)=?

Passo 2

Recordando definições básicas (muito importante para a prova): a secante de um ângulo é o inverso do cosseno. Em fórmulas:
\operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta}.
Como \operatorname{sec}\theta=4, podemos deduzir \cos\theta isolando na definição:
\cos\theta=\frac{1}{\operatorname{sec}\theta}=\frac{1}{4}.

Passo 3

Agora vamos relacionar \operatorname{tg} com \operatorname{sec}. Uma identidade trigonométrica útil (derivada de \sin^2\theta+\cos^2\theta=1) é:
\operatorname{tg}^2\theta+1=\operatorname{sec}^2\theta.
Explicando essa identidade passo a passo: escrevendo \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 e dividindo tudo por \cos^2\theta obtemos \tan^2\theta+1=1/\cos^2\theta, ou seja \operatorname{tg}^2\theta+1=\operatorname{sec}^2\theta. Aqui \operatorname{tg}^2\theta significa (\operatorname{tg}\theta)^2.

Passo 4

Substituímos \operatorname{sec}\theta=4 na identidade para obter \operatorname{tg}^2\theta:
\operatorname{tg}^2\theta=\operatorname{sec}^2\theta-1=4^2-1=16-1=15.
Portanto
\operatorname{tg}\theta=\pm\sqrt{15}.
Agora precisamos decidir o sinal ( + ou -). Para isso consideramos o sinal de \cos\theta: já vimos que \cos\theta=\tfrac{1}{4}>0. Um ângulo com cosseno positivo que é imagem de \operatorname{sec}^{-1}(4) fica no primeiro quadrante (ângulo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}), onde seno e tangente são positivos. Logo escolhemos o sinal positivo.

Passo 5

Para confirmar de forma bem direta, podemos calcular \sin\theta usando \sin^2\theta=1-\cos^2\theta:
\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4},
e então
\operatorname{tg}\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}}=\sqrt{15},
igual ao resultado anterior com sinal positivo.

Resposta

\sqrt{15}

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