Uma função é par se f(x)=f(-x) para todo x in D(f) e ímpar se f(x)=-f(-x) para todo x in D(f). Determine se f circ g é par, ímpar ou não necessariamente nenhum dos dois, nos quatro casos obtidos escolhendo f par ou ímpar e g par ou ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a paridade de fcirc g, sabendo que f e g podem ser pares ou ímpares. Vamos usar as definições:
f é par se ,f(x)=f(-x) para todo x.
f é ímpar se ,f(x)=-f(-x) para todo x.
E a composição satisfaz
(fcirc g)(-x);=;fl(g(-x)r)

Passo 2

Caso f par e g par.
Como g(-x)=g(x), temos
(fcirc g)(-x)=fl(g(-x)r)=fl(g(x)r)=(fcirc g)(x),
logo fcirc g é par.

Passo 3

Caso f par e g ímpar.
Como g(-x)=-g(x) e f é par,
(fcirc g)(-x)=fl(g(-x)r)=fl(-g(x)r)=fl(g(x)r)=(fcirc g)(x),
logo fcirc g é par.

Passo 4

Caso f ímpar e g par.
Como g(-x)=g(x),
(fcirc g)(-x)=fl(g(-x)r)=fl(g(x)r)=(fcirc g)(x),
logo fcirc g é par.

Passo 5

Caso f ímpar e g ímpar.
Aqui g(-x)=-g(x) e f é ímpar, então
(fcirc g)(-x)=fl(g(-x)r)=fl(-g(x)r)=-,fl(g(x)r)=-,(fcirc g)(x),
logo fcirc g é ímpar.

Resposta

f par, g par Rightarrow fcirc g é par
f par, g ímpar Rightarrow fcirc g é par
f ímpar, g par Rightarrow fcirc g é par
f ímpar, g ímpar Rightarrow fcirc g é ímpar

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