As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a)
se, e somente se,
.
b)
se, e somente se,
.
c)
se, e somente se,
.
d)
se, e somente se,
.
e)
se, e somente se,
.
f)
se, e somente se,
.
I) Verifique que:
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
I) Verifique que:
f)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a fórmula da função inversa da cosseno hiperbólica recíproca, ou seja
se, e somente se,
.
Vamos usar a definição de em termos de exponenciais e resolver para
.
Vamos usar a definição de
Passo 2
Pela definição de cosseno hiperbólica recíproca temos
isso equivale a
Passo 3
Escrevendo
em termos de exponenciais temos
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando, obtemos
Passo 4
Multiplicamos agora por
para obter uma equação quadrática em
:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
pela fórmula de Bhaskara:
Como
, escolhemos o sinal “
”. Logo
Passo 6
Tomando logaritmo natural,
Para simplificar a raiz:
Passo 7
Substituindo de volta, concluímos