As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a) y=argsenh(x) se, e somente se, senh(y)=x.
b) y=argcosh(x) se, e somente se, cosh (y)=x.
c) y=ar>gh(x) se, e somente se, tgh(y)=x.
d) y=argcotgh(x) se, e somente se, cotgh(y)=x.
e) y=argsech(x) se, e somente se, sech(y)=x.
f) y=argcosech(x) se, e somente se, cosech(y)=x.
I) Verifique que:
f) argcotgh(x)=ln (1x+raizx^2+1|x|), x neq 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fórmula da função inversa da cosseno hiperbólica recíproca, ou seja
y=argcosech(x) se, e somente se,
cosech(y)=x.
Vamos usar a definição de sinh em termos de exponenciais e resolver para y.

Passo 2

Pela definição de cosseno hiperbólica recíproca temos
cosech(y)=1sinh(y)=x
isso equivale a
sinh(y)=1x, xneq 0

Passo 3

Escrevendo sinh(y) em termos de exponenciais temos
sinh(y)=e^y - e^-y2 = 1x
Multiplicando ambos os lados por 2 e reorganizando, obtemos
e^y - e^-y = 2x

Passo 4

Multiplicamos agora por e^y para obter uma equação quadrática em t=e^y:
e^2y - 1 = 2x,e^y Longrightarrow t^2 - 2x,t -1 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática t^2 - tfrac2xt -1=0 pela fórmula de Bhaskara:
t = 2x pm raizl(tfrac2xr)^2 +42 = 1x pm raiz1x^2+1
Como t=e^y>0, escolhemos o sinal “ +”. Logo
e^y = 1x + raiz1x^2+1

Passo 6

Tomando logaritmo natural,
y = ln!l(e^yr) = ln!l(1x + raiz1x^2+1r)
Para simplificar a raiz:
raiz1x^2+1 = raiz1+x^2x^2 = raizx^2+1|x|

Passo 7

Substituindo de volta, concluímos
argcosech(x) = ln!l(1x + raizx^2+1|x|r), xneq 0

Resposta

argcosech(x) = ln!l(1x + raizx^2+1|x|r), xneq 0

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