Sejam f e g funções reais cujas expressões são f(x)=raizx e g(x)=1x^2-4. Determine o o maior conjunto dos números reais para o qual a função composta g circ f está bem definida e determine a sua regra de definição.

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais, f(x)=raizx e g(x)=1x^2-4. Queremos achar o maior conjunto de números reais em que a composição gcirc f está bem definida (isto é, seu domínio) e, em seguida, determinar a expressão algébrica de gcirc f. Vamos usar o conceito de domínio de função composta:
  • dom (gcirc f)=xmid xindom(f) e f(x)indom(g).

Passo 2

Encontrar dom (f) e dom (g):
Para f(x)=raizx, o radicando deve ser não-negativo, logo
dom(f)=[0,infty)
Para g(x)=tfrac1x^2-4, o denominador não pode ser zero, ou seja
x^2-4neq0Longrightarrow xneq2,;xneq-2,
logo
dom(g)=Rsetminus-2,2

Passo 3

Impor que xindom(f) e f(x)indom(g). Como f(x)=raizx>=0, a condição relevante é
raizxneq2Longrightarrow xneq4
Mantendo x>=0, concluímos
dom(gcirc f)=[0,infty)setminus4

Passo 4

Calcular a regra de gcirc f:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =1l(raizxr)^2-4 =1x-4,
válido para x>=0 com xneq4.

Resposta

O domínio de gcirc f é
[0,infty)setminus4,
e a regra de definição é
(gcirc f)(x)=1x-4

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