Sejam
uma função e
. Mostre que:
(a)
;
(b) se
é sobrejetiva, então
.
(a)
(b) se
Passo 1
O enunciado define uma função
e um conjunto
e pede para mostrar que
(a)
(b) se é sobrejetiva, então
.
Para resolver isso, vamos usar as definições de imagem direta
e imagem inversa
,
juntamente com argumentos elementares de pertinência.
(a)
(b) se
Para resolver isso, vamos usar as definições de imagem direta
e imagem inversa
juntamente com argumentos elementares de pertinência.
Passo 2
Prova de
. Seja
. Então existe
tais que
. Por definição de preimagem,
significa
. Logo
. Como
era arbitrário, concluímos
Passo 3
Prova de
quando
é sobrejetiva. Seja
. Como
é sobrejetiva, existe
tal que
. E como
, isso implica
. Portanto
. Concluímos
e, junto com a inclusão do passo anterior, obtemos
Resposta
(a)
(b) se é sobrejetiva, então
.
(b) se