Sejam f: X Y uma função e B subseteq Y. Mostre que:
(a) f(f^-1(B)) subseteq B;
(b) se f é sobrejetiva, então B=f(f^-1(B)).

Passo 1

O enunciado define uma função fcolon Xto Y e um conjunto Bsubseteq Y e pede para mostrar que
(a) ;f(f^-1(B))subseteq B
(b) se f é sobrejetiva, então ;B=f(f^-1(B)).
Para resolver isso, vamos usar as definições de imagem direta
;f(A)=f(x)mid xin A
e imagem inversa
;f^-1(B)=xin Xmid f(x)in B,
juntamente com argumentos elementares de pertinência.

Passo 2

Prova de ,f(f^-1(B))subseteq B. Seja yin f(f^-1(B)). Então existe xin f^-1(B) tais que f(x)=y. Por definição de preimagem, xin f^-1(B) significa f(x)in B. Logo y=f(x)in B. Como y era arbitrário, concluímos
f(f^-1(B))subseteq B

Passo 3

Prova de Bsubseteq f(f^-1(B)) quando f é sobrejetiva. Seja yin B. Como f é sobrejetiva, existe xin X tal que f(x)=y. E como yin B, isso implica xin f^-1(B). Portanto y=f(x)in f(f^-1(B)). Concluímos
Bsubseteq f(f^-1(B))
e, junto com a inclusão do passo anterior, obtemos
B=f(f^-1(B))

Resposta

(a) ;f(f^-1(B))subseteq B
(b) se f é sobrejetiva, então ;B=f(f^-1(B)).

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