Uma função é periódica se existe algum número real p não nulo. chamado de período. tal que f(x+p)=f(x) para todo x no domínio da função. Mostre que nenhuma função periódica é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem que mostrar que nenhuma função periódica é injetora.
Conteúdo da matéria: Funções periódicas e funções injetoras.
O que vamos precisar para resolver: Precisamos entender o que significa uma função ser periódica e o que caracteriza uma função injetora. Depois, vamos usar essas definições para provar que não pode haver uma função que seja ambas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função f é periódica se existe um número real p diferente de zero, chamado de período, tal que para todo x no domínio da função, f(x + p) = f(x) . Isso significa que o gráfico da função se repete a cada intervalo de p .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função f é injetora se, sempre que f(a) = f(b) , então a = b . Em outras palavras, cada valor no conjunto de chegada é mapeado por no máximo um valor do domínio. Não pode ter dois valores diferentes do domínio que resultem no mesmo valor da função.

Passo 4

Vamos agora supor, para chegar a uma contradição, que exista uma função f que seja simultaneamente periódica e injetora.

Passo 5

Como f é periódica, existe um período p neq 0 tal que para todo x , f(x + p) = f(x) .

Passo 6

Agora, escolhemos um valor qualquer de x . Segundo a periodicidade, temos que f(x + p) = f(x) .

Passo 7

Mas, se f(x + p) = f(x) e p neq 0 , então temos dois valores diferentes, x + p e x , que são mapeados para o mesmo valor pela função f .

Passo 8

Isso contraria a definição de função injetora, que exige que valores diferentes do domínio não sejam mapeados para o mesmo valor da função.

Passo 9

Portanto, nossa suposição de que existe uma função que é ao mesmo tempo periódica e injetora leva a uma contradição.

Resposta

Nenhuma função periódica pode ser injetora, pois a periodicidade implica que existem valores distintos no domínio que são mapeados para o mesmo valor da função.

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