Uma função é periódica se existe algum número real
não nulo. chamado de período. tal que
para todo
no domínio da função. Mostre que nenhuma função periódica é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem que mostrar que nenhuma função periódica é injetora.
Conteúdo da matéria: Funções periódicas e funções injetoras.
O que vamos precisar para resolver: Precisamos entender o que significa uma função ser periódica e o que caracteriza uma função injetora. Depois, vamos usar essas definições para provar que não pode haver uma função que seja ambas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função
é periódica se existe um número real
diferente de zero, chamado de período, tal que para todo
no domínio da função,
. Isso significa que o gráfico da função se repete a cada intervalo de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, então
. Em outras palavras, cada valor no conjunto de chegada é mapeado por no máximo um valor do domínio. Não pode ter dois valores diferentes do domínio que resultem no mesmo valor da função.
Passo 4
Vamos agora supor, para chegar a uma contradição, que exista uma função
que seja simultaneamente periódica e injetora.
Passo 5
Como
é periódica, existe um período
tal que para todo
,
.
Passo 6
Agora, escolhemos um valor qualquer de
. Segundo a periodicidade, temos que
.
Passo 7
Mas, se
e
, então temos dois valores diferentes,
e
, que são mapeados para o mesmo valor pela função
.
Passo 8
Isso contraria a definição de função injetora, que exige que valores diferentes do domínio não sejam mapeados para o mesmo valor da função.
Passo 9
Portanto, nossa suposição de que existe uma função que é ao mesmo tempo periódica e injetora leva a uma contradição.
Resposta
Nenhuma função periódica pode ser injetora, pois a periodicidade implica que existem valores distintos no domínio que são mapeados para o mesmo valor da função.