Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0(1+senh(x))^2x

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
limxto0(1+senh(x))^tfrac2x
Esse tipo de expressão gera a forma indeterminada 1^infty, então vamos usar a transformação logarítmica e depois aplicar a regra de L\’Hospital.

Passo 2

Definimos
L = limxto0(1+senh(x))^tfrac2x
Tomando logaritmo natural, obtemos
ln L = limxto02x,lnl(1+senh(x)r)

Passo 3

No limite de ln L temos a forma tfrac00, então aplicamos L’Hospital:
ln L = limxto02,ln(1+senh(x))x = limxto02cdotddxl[ln(1+senh(x))r]ddx[x] = limxto02;cosh(x)1+senh(x)
Avaliando em x=0:
ln L = 2cdotcosh(0)1+senh(0) = 2cdot11+0 = 2

Passo 4

Como ln L = 2, concluímos que
L = e^2

Resposta

e^2

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