Prove que toda função decrescente é injetora em seu domínio.

Passo 1

O enunciado pede para provar que toda função estritamente decrescente é injetora em seu domínio. O conteúdo envolvido são as definições de função estritamente decrescente e de função injetora, e vamos usar um argumento direto (ou por contradição) aplicando essas definições.

Passo 2

Lembrando que uma função fcolon Ato B é estritamente decrescente se, para quaisquer x,yin A com x<y, vale
f(x)>f(y)

Passo 3

Uma função f é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), então necessariamente x1=x2.

Passo 4

Seja fcolon Ato B estritamente decrescente. Tomemos x1,x2in A tais que
f(x1)=f(x2)
Suponhamos, por absurdo, que x1neq x2. Existem dois casos:
  1. Se x1<x2, então pela decrescência
    f(x1)>f(x2),
    o que contradiz f(x1)=f(x2).
  2. Se x1>x2, então pela decrescência (trocando os papéis)
    f(x2)>f(x1)Longrightarrow f(x1)<f(x2),
    novamente contradizendo f(x1)=f(x2).
Não há outra possibilidade, portanto a hipótese x1neq x2 gera contradição. Logo só resta x1=x2.

Resposta

Portanto, toda função estritamente decrescente é injetora em seu domínio.

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