Prove que toda função decrescente é injetora em seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para provar que toda função estritamente decrescente é injetora em seu domínio. O conteúdo envolvido são as definições de função estritamente decrescente e de função injetora, e vamos usar um argumento direto (ou por contradição) aplicando essas definições.
Passo 2
Lembrando que uma função
é estritamente decrescente se, para quaisquer
com
, vale
Passo 3
Uma função
é injetora se, sempre que
, então necessariamente
.
Passo 4
Seja
estritamente decrescente. Tomemos
tais que
Suponhamos, por absurdo, que
. Existem dois casos:
-
Se
, então pela decrescência o que contradiz. -
Se
, então pela decrescência (trocando os papéis) novamente contradizendo.
Não há outra possibilidade, portanto a hipótese
gera contradição. Logo só resta
.
Resposta
Portanto, toda função estritamente decrescente é injetora em seu domínio.