Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x +infty ln (ln (x))ln (x+ln (x))

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyln(ln(x))lnl(x+ln(x)r)
e sugere usar a regra de L’Hospital. O conteúdo é limites de quocientes do tipo tfracinftyinfty.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada. Quando xto+infty:
  • ln(ln(x))to+infty, pois ln(x)to+infty.
  • lnl(x+ln(x)r)to+infty, pois x+ln(x)to+infty.
Logo temos tfracinftyinfty e podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Calculamos as derivadas do numerador e do denominador.
A derivada do numerador é
ddxln(ln(x)) =1ln(x)cdotddxln(x) =1ln(x)cdot1x =1x,ln(x)
A derivada do denominador é
ddxlnl(x+ln(x)r) =1x+ln(x)cdotddxl(x+ln(x)r) =1+1/xx+ln(x) =x+1x,(x+ln(x))

Passo 4

Substituindo na regra de L’Hospital, o limite vira
limxto+infty 1x,ln(x)x+1x,(x+ln(x)) =limxto+infty 1x,ln(x)cdotx,(x+ln(x))x+1 =limxto+infty x+ln(x)(x+1),ln(x)
Podemos reescrever
x+ln(x)(x+1),ln(x) =1+ln(x)x(1+1x),ln(x)

Passo 5

Ao fazer xto+infty temos ln(x)xto0 e 1xto0, então
1+0(1+0),ln(x)=1ln(x)to0

Resposta

O limite pedido é 0.

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