A função f(x) é periodica se existir um número T positivo (período da função) tal, que f(x+T) equiv f(x) para todos os valores de x, pertencentes ao campo de existência da função f(x).
Determinar quais das funçães abaixo enumeradas são periódicas e achar, para as funções periódicas, o período mínimo de seus T :
f(x)=raiztg x ; tg(x)=tan (x), a tangente

Passo 1

O enunciado fala de periodicidade: diz que uma função f é periódica se existe T>0 tal que
f(x+T)equiv f(x)
para todo x no domínio de f. Aqui temos duas funções envolvendo a tangente:
1) tan(x) 2) f(x)=raiztan(x)
e queremos ver quais são periódicas e, quando forem, achar o menor período T>0.

Passo 2

Começando por tan(x): é bem conhecido que
tan(x+pi)=tan(x)
para todo xneq tfracpi2+kpi, ou seja, a tangente se repete a cada pi. Além disso não existe período menor que pi que faça tan(x+T)=tan(x) para todos x.

Passo 3

Logo, tan(x) é periódica e seu período mínimo é
Ttan=pi

Passo 4

Agora f(x)=raiztan(x). Primeiro note que o domínio de f é todo x em que tan(x)>=0. Mesmo assim, como
tanl(x+pir)=tan(x),
sempre que x e x+pi estiverem no domínio teremos
f(x+pi)=raiztan(x+pi)=raiztan(x)=f(x)
Assim pi também é período de f.

Passo 5

Para ver que não existe período menor, precisaríamos de T<pi tal que tan(x+T)=tan(x) em todo domínio; mas já sabemos que o menor período da tangente é pi. Portanto o menor período de raiztan(x) também é pi.

Resposta

tan(x) é periódica com período mínimo T=pi.
raiztan(x) é periódica com período mínimo T=pi.

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