Mostre todos os passos da resolução, sem eles a questão será an
$\left(y^{2}-x\right) d x+2 y d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial (y^2 - x) , dx + 2y , dy = 0. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar uma relação entre x e y. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas e fatores integrantes. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam dx e dy na equação. Chamamos de M a função que multiplica dx e de N a que multiplica dy. Aqui, temos:
M = y^2 - x
N = 2y

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
partial Mpartial y = 2y
partial Npartial x = 0
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de y. Para isso, usamos a fórmula:
mu(y) = e^integral partial Mpartial y - partial Npartial xN , dy
Substituindo os valores que já encontramos:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 2y - 02y = 1
Então,
mu(y) = e^integral 1 , dy = e^y

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(y) = e^y:
e^y(y^2 - x) , dx + e^y cdot 2y , dy = 0
Agora, temos uma nova equação:
M' , dx + N' , dy = 0
onde
M' = e^y(y^2 - x)
N' = 2y e^y

Passo 6

Vamos verificar se a nova equação é exata. Calculamos as derivadas parciais novamente:
partial M'partial y = e^y(y^2 - x) + e^y cdot 2y = e^y(y^2 - x + 2y)
partial N'partial x = 0
Parece que ainda não é exata. Porém, vamos prosseguir integrando M' em relação a x.

Passo 7

Integramos M' em relação a x:
integral M' , dx = integral e^y(y^2 - x) , dx = e^yy^2x - e^yx^22 + h(y)
onde h(y) é uma função de y que surge da integração.

Passo 8

Agora, derivamos essa expressão em relação a y e igualamos a N':
dFdy = e^yy^2x + e^y cdot 2yx - e^yx^22 + h'(y) = 2y e^y
Igualando:
e^yy^2x + 2y e^yx - e^yx^22 + h'(y) = 2y e^y
Para que isso seja verdade para todo x e y, os termos com x devem cancelar, e restar apenas h'(y) = 2y e^y. Assim:
h'(y) = 2y e^y
Integrando:
h(y) = 2 e^y(y - 1) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 9

Agora, juntamos tudo para encontrar a solução geral:
F(x,y) = e^yy^2x - e^yx^22 + 2 e^y(y - 1) = C
Podemos fatorar e^y:
e^y(y^2x - x^22 + 2y - 2) = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^y(y^2x - x^22 + 2y - 2) = C
onde C é uma constante real.

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