Mostre todos os passos da resolução, sem eles a questão será an
$\left(y^{2}-x\right) d x+2 y d y=0
$\left(y^{2}-x\right) d x+2 y d y=0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas e fatores integrantes. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
na equação. Chamamos de
a função que multiplica
e de
a que multiplica
. Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
. Para isso, usamos a fórmula:
Substituindo os valores que já encontramos:
Então,
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, temos uma nova equação:
onde
Passo 6
Vamos verificar se a nova equação é exata. Calculamos as derivadas parciais novamente:
Parece que ainda não é exata. Porém, vamos prosseguir integrando
em relação a
.
Passo 7
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 8
Agora, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Igualando:
Para que isso seja verdade para todo
e
, os termos com
devem cancelar, e restar apenas
. Assim:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, juntamos tudo para encontrar a solução geral:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.