Se phi(x, y, z)=x y z é uma função potencial para o campo vetorial F calcule:
integralC F cdot d r onde C é o segmento ligando a origem ao ponto (1,1,1). Agora calcule a mesma integral de outra forma para verificar o seu resultado.

Passo 1

O enunciado nos dá phi(x,y,z)=x,y,z como função potencial de um campo conservativo F e pede a integral de linha
integralCFcdot dr
ao longo do segmento de reta de (0,0,0) até (1,1,1). Vamos usar o conteúdo de campos conservativos e o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Como phi é potencial de F, vale o teorema fundamental das integrais de linha:
integralCFcdot dr =phil(1,1,1r)-phil(0,0,0r) =1cdot1cdot1-0=1

Passo 3

Para verificar, parametrize o segmento por
r(t)=(t,t,t), tin[0,1],
de modo que
,dr=(1,1,1),dt e
F=nablaphi=(y z,;x z,;x y).
No caminho, x=y=z=t, logo
F(r(t))=(t^2,t^2,t^2),
e
Fcdot dr =(t^2,t^2,t^2)cdot(1,1,1),dt =3,t^2,dt
Integramos de 0 a 1:
integral0^13,t^2,dt =[t^3]0^1 =1

Passo 4

Ambos os métodos levam ao mesmo valor, confirmando que
integralCFcdot dr=1.

Resposta

,1

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