Seja F o campo vetorial em R^2-(0,0) dado por F(x, y)=(yx^2+y^2, x^22-xx^2+y^2).
Calcule a integral integralC F cdot d r onde C é o círculo (x-1)^2+(y-1)^2=1 no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, que é um tema de cálculo multivariável. Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C, que nesse caso é um círculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, integrais de linha e como parametrizar curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo vetorial dado:
F(x, y) = ( yx^2 + y^2, x^22 - xx^2 + y^2 )
Esse campo está definido em R^2 exceto na origem (0,0).

Passo 3

A curva C é o círculo definido por (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1, que tem raio 1 e está centrada no ponto (1,1). Queremos percorrer esse círculo no sentido anti-horário.

Passo 4

Para calcular a integral [\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}), precisamos parametrizar a curva . A parametrização padrão de um círculo centrado em com raio é:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar dr, que é o vetor diferencial da curva:
dr = ( dxdt, dydt ) dt = (-sin t, cos t) dt

Passo 6

Vamos substituir a parametrização na função F:
F(x, y) = ( 1 + sin t(1 + cos t)^2 + (1 + sin t)^2, (1 + cos t)^22 - 1 + cos t(1 + cos t)^2 + (1 + sin t)^2 )
Simplificando o denominador:
(1 + cos t)^2 + (1 + sin t)^2 = 1 + 2cos t + cos^2 t + 1 + 2sin t + sin^2 t = 2 + 2cos t + 2sin t + (cos^2 t + sin^2 t) = 3 + 2cos t + 2sin t

Passo 7

Portanto, a função F parametrizada fica:
F(t) = ( 1 + sin t3 + 2cos t + 2sin t, (1 + cos t)^22 - 1 + cos t3 + 2cos t + 2sin t )

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F(t) cdot dr = ( 1 + sin t3 + 2cos t + 2sin t )(-sin t) + ( (1 + cos t)^22 - 1 + cos t3 + 2cos t + 2sin t )(cos t)

Passo 9

A integral fica então:
integral0^2pi [ (1 + sin t)(-sin t) + ( (1 + cos t)^22 - 1 + cos t3 + 2cos t + 2sin t )cos t ] dt
Essa integral pode ser complicada de resolver diretamente, então vamos procurar simplificações ou propriedades do campo vetorial que facilitem o cálculo.

Passo 10

Observando o campo F, percebemos que ele pode ser decomposto ou relacionado a uma função potencial, mas mais simples é verificar se F é conservativo ou se podemos aplicar teoremas como o de Green.
No caso, o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por C:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy
onde F = (P, Q).

Passo 11

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
P = yx^2 + y^2 Rightarrow partial Ppartial y = (x^2 + y^2) - y(2y)(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2
Q = x^22 - xx^2 + y^2 Rightarrow partial Qpartial x = x - (x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x - y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2

Passo 12

Subtraindo as derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = ( x - y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 ) - ( x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 ) = x
Isso simplifica muito a integral dupla!

Passo 13

Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD x , dx dy
onde D é a região dentro do círculo C (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1.

Passo 14

Para calcular essa integral dupla, podemos mudar para coordenadas polares, mas como o círculo está centrado em (1,1), fica mais complicado. Em vez disso, vamos notar que a função x é simétrica e podemos calcular a média.
A integral de x sobre a região D será igual à abscissa do centro do círculo vezes a área do círculo:
integral duplaD x , dx dy = xc cdot Área(D) Á
onde xc = 1 e Área(D) = pi cdot r^2 = pi cdot 1^2 = piÁ.

Passo 15

Portanto:
integral duplaD x , dx dy = 1 cdot pi = pi

Resposta

A integral integralC F cdot d r é igual a pi.

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