Seja o campo vetorial em dado por .
Calcule a integral onde é o círculo no sentido anti-horário.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, que é um tema de cálculo multivariável. Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva , que nesse caso é um círculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, integrais de linha e como parametrizar curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo vetorial dado:
Esse campo está definido em exceto na origem .
Passo 3
A curva é o círculo definido por , que tem raio 1 e está centrada no ponto . Queremos percorrer esse círculo no sentido anti-horário.
Passo 4
Para calcular a integral [\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}), precisamos parametrizar a curva . A parametrização padrão de um círculo centrado em com raio é:
No nosso caso, e , então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar , que é o vetor diferencial da curva:
Passo 6
Vamos substituir a parametrização na função :
Simplificando o denominador:
Passo 7
Portanto, a função parametrizada fica:
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 9
A integral fica então:
Essa integral pode ser complicada de resolver diretamente, então vamos procurar simplificações ou propriedades do campo vetorial que facilitem o cálculo.
Passo 10
Observando o campo F, percebemos que ele pode ser decomposto ou relacionado a uma função potencial, mas mais simples é verificar se F é conservativo ou se podemos aplicar teoremas como o de Green.
No caso, o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por C:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy
Q = x^22 - xx^2 + y^2 Rightarrow partial Qpartial x = x - (x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x - y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2
Passo 12
Subtraindo as derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = ( x - y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 ) - ( x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 ) = x
Isso simplifica muito a integral dupla!
Passo 13
Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD x , dx dy
onde D é a região dentro do círculo C(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1.
Passo 14
Para calcular essa integral dupla, podemos mudar para coordenadas polares, mas como o círculo está centrado em (1,1), fica mais complicado. Em vez disso, vamos notar que a função x é simétrica e podemos calcular a média.
A integral de x sobre a região D será igual à abscissa do centro do círculo vezes a área do círculo:
integral duplaD x , dx dy = xc cdot Área(D) Á
onde xc = 1 e Área(D) = pi cdot r^2 = pi cdot 1^2 = piÁ.