A função de probabilidade conjunta de Xe Yé dada por
a) Encontre as funções de probabilidade marginais de Xe Y;
b) Xe Y são independentes?
c) Encontre as funções de probabilidade de
, XYeX/Y.
b) Xe Y são independentes?
c) Encontre as funções de probabilidade de
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com a distribuição conjunta de X e Y, encontrar as marginais, decidir se X e Y são independentes e depois achar as distribuições de X+Y, X–Y, X·Y e X/Y.
Passo 2
Para achar a marginal de X somamos sobre Y:
$$p_X(1)=p(1,1)+p(1,2)=\tfrac18+\tfrac14=\tfrac38,
\quad p_X(2)=p(2,1)+p(2,2)=\tfrac18+\tfrac12=\tfrac58.
p_Y(1)=p(1,1)+p(2,1)=\tfrac18+\tfrac18=\tfrac14,
\quad p_Y(2)=p(1,2)+p(2,2)=\tfrac14+\tfrac12=\tfrac34.$$
Passo 3
Para testar independência checamos se sempre
. Por exemplo,
mas
, que é diferente. Logo, X e Y não são independentes.
Passo 4
Definimos Z₁=X+Y, que toma valores 2,3,4. Calculamos:
Passo 5
Definimos Z₂=X–Y, que toma valores –1,0,1. Calculamos:
Passo 6
Definimos Z₃=X·Y, que toma valores 1,2,4. Vem:
Passo 7
Definimos Z₄=X/Y, que toma valores 1/2,1,2. Calculamos:
Resposta
a) Marginais:
,
;
,
. b) Não são independentes. c) Distribuições:
- X+Y:
, , . - X–Y:
, , . - X·Y:
, , . - X/Y:
, , .