A função de probabilidade conjunta de Xe Yé dada por
ll p(1,1)=18 & p(1,2)=14 p(2,1)=18 & p(2,2)=12
a) Encontre as funções de probabilidade marginais de Xe Y;
b) Xe Y são independentes?
c) Encontre as funções de probabilidade de X+Y, X-Y, XYeX/Y.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a distribuição conjunta de X e Y, encontrar as marginais, decidir se X e Y são independentes e depois achar as distribuições de X+Y, X–Y, X·Y e X/Y.

Passo 2

Para achar a marginal de X somamos sobre Y:
$$p_X(1)=p(1,1)+p(1,2)=\tfrac18+\tfrac14=\tfrac38,
\quad p_X(2)=p(2,1)+p(2,2)=\tfrac18+\tfrac12=\tfrac58. pX(1)=p(1,1)+p(1,2)=tfrac18+tfrac14=tfrac38, pX(2)=p(2,1)+p(2,2)=tfrac18+tfrac12=tfrac58p_Y(1)=p(1,1)+p(2,1)=\tfrac18+\tfrac18=\tfrac14,
\quad p_Y(2)=p(1,2)+p(2,2)=\tfrac14+\tfrac12=\tfrac34.$$

Passo 3

Para testar independência checamos se sempre p(x,y)=pX(x)pY(y). Por exemplo, p(1,1)=tfrac18 mas pX(1)pY(1)=tfrac38cdottfrac14=tfrac332, que é diferente. Logo, X e Y não são independentes.

Passo 4

Definimos Z₁=X+Y, que toma valores 2,3,4. Calculamos:
pX+Y(2)=p(1,1)=tfrac18, ;pX+Y(3)=p(1,2)+p(2,1)=tfrac14+tfrac18=tfrac38, ;pX+Y(4)=p(2,2)=tfrac12

Passo 5

Definimos Z₂=X–Y, que toma valores –1,0,1. Calculamos:
pX- Y(-1)=p(1,2)=tfrac14, ;pX- Y(0)=p(1,1)+p(2,2)=tfrac18+tfrac12=tfrac58, ;pX- Y(1)=p(2,1)=tfrac18

Passo 6

Definimos Z₃=X·Y, que toma valores 1,2,4. Vem:
pXY(1)=p(1,1)=tfrac18, ;pXY(2)=p(1,2)+p(2,1)=tfrac14+tfrac18=tfrac38, ;pXY(4)=p(2,2)=tfrac12

Passo 7

Definimos Z₄=X/Y, que toma valores 1/2,1,2. Calculamos:
pX/Y(tfrac12)=p(1,2)=tfrac14, ;pX/Y(1)=p(1,1)+p(2,2)=tfrac18+tfrac12=tfrac58, ;pX/Y(2)=p(2,1)=tfrac18

Resposta

a) Marginais: pX(1)=3/8, pX(2)=5/8; pY(1)=1/4, pY(2)=3/4. b) Não são independentes. c) Distribuições:
  • X+Y: p(2)=1/8, p(3)=3/8, p(4)=1/2.
  • X–Y: p(-1)=1/4, p(0)=5/8, p(1)=1/8.
  • X·Y: p(1)=1/8, p(2)=3/8, p(4)=1/2.
  • X/Y: p(1/2)=1/4, p(1)=5/8, p(2)=1/8.

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