Seja uma sequência de eventos.
Mostre que se então .

Passo 1

A questão diz que temos uma sequência de eventos An tal que P[An]=1 para todo n, e pede pra mostrar que a interseção de todos eles também tem probabilidade 1. O conteúdo aqui envolve operações com eventos (intersecção finita e infinita) e a propriedade de continuidade de uma medida de probabilidade.

Passo 2

Vamos primeiro mostrar que a interseção de um número finito de eventos de probabilidade 1 também tem probabilidade 1. Definimos
Bn = capk=1^n Ak
Para n=1 claramente P(B1)=P(A1)=1. Supondo que P(Bn)=1, temos
P(Bn+1) = P(Bn cap An+1) = P(Bn) + P(An+1) - P(Bn cup An+1) >= 1 + 1 - 1 = 1
Como P(Bn+1)<=1 sempre, concluímos por indução que P(Bn)=1 para todo n.

Passo 3

Agora note que (Bn)n>=1 é uma sequência decrescente de eventos (isto é, Bn+1subset Bn). Uma propriedade fundamental de medidas de probabilidade é a continuidade de cima: se E1supset E2supsetcdots e P(E1), então
Pl(capn=1^infty Enr)=limntoinftyP(En)
Aqui P(B1)=1, logo
Pl(capn=1^infty Anr) = Pl(capn=1^infty Bnr)=limntoinftyP(Bn)=limntoinfty1 = 1

Resposta

Pl(capnin NAnr)=1.

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