Seja
uma sequência de eventos.
Mostre que se
então
.
Mostre que se
Passo 1
A questão diz que temos uma sequência de eventos
tal que
para todo
, e pede pra mostrar que a interseção de todos eles também tem probabilidade 1. O conteúdo aqui envolve operações com eventos (intersecção finita e infinita) e a propriedade de continuidade de uma medida de probabilidade.
Passo 2
Vamos primeiro mostrar que a interseção de um número finito de eventos de probabilidade 1 também tem probabilidade 1. Definimos
Para
claramente
. Supondo que
, temos
Como
sempre, concluímos por indução que
para todo
.
Passo 3
Agora note que
é uma sequência decrescente de eventos (isto é,
). Uma propriedade fundamental de medidas de probabilidade é a continuidade de cima: se
e
, então
Aqui
, logo