Função de probabilidade. Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p) da variável aleatória contínua X se satisfaz as seguintes condições.
f(x) \geq 0, se x \in R.

Passo 1

O enunciado nos dá uma frase parcial: “Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p) da variável aleatória contínua X se satisfaz as seguintes condições. f(x) \geq 0, se x \in \mathbb{R}.”\n
O que precisa ser completado e entendido (perguntas implícitas):
  • Quais são todas as condições que definem uma f.d.p.?
  • Por que cada condição é necessária (intuição)?
  • Como usar uma f.d.p. para calcular probabilidades, a função de distribuição acumulada (f.d.a.), esperança e variância?
  • Como verificar passo a passo que uma dada função é uma f.d.p. (normalização) e exemplos práticos que caem em prova?
Lista das informações dadas:
  • Foi dada a condição f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Completar a definição formal: além de f(x)\ge 0 para todo x, a outra condição necessária é que a integral de f em toda a reta seja 1. Ou seja:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Explicação didática do porquê:
  • Probabilidades de eventos serão obtidas integrando f em subconjuntos do eixo real. Se a integral total não fosse 1, a soma de todas as probabilidades não seria 1, o que violaria a axioma básica de probabilidade.
  • A condição f(x)\ge 0 garante que integrais sobre intervalos não gerem probabilidades negativas.

Passo 3

Como calcular probabilidades com uma f.d.p.: regra prática e exemplo genérico.
  • Se A é um intervalo (ou união de intervalos), então a probabilidade de X cair em A é
P(X\in A)=\int_{A} f(x)\,dx.
  • Em particular, para um intervalo (a,b]:
P(a<X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Definição da função de distribuição acumulada (f.d.a.):
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Propriedades úteis de F:
  • F é não decrescente.
  • \lim_{x\to -\infty} F(x)=0 e \lim_{x\to\infty} F(x)=1.
  • Para qualquer a<b: P(a<X\le b)=F(b)-F(a).

Passo 4

Como verificar passo a passo que uma função dada f(x) é f.d.p. — método que sempre uso na prova:
  1. Verificar não negatividade: mostrar que f(x)\ge 0 para todo x no domínio (ou restringir a domínio onde f é positiva).
  2. Normalizar: calcular a integral total e obter a constante de normalização, se houver. Ou seja, calcular
I=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx.
Se I depende de uma constante c, resolva I=1 para obter c.
3. Concluir: se os passos acima forem satisfeitos, f é f.d.p.
Exemplo 1 (uniforme no intervalo [a,b]): verificar e achar a constante.
  • Proposta: f(x)=k para x\in[a,b] e f(x)=0 fora de [a,b].
  • Normalização:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} k\,dx = k(b-a).
Exigindo igualdade a 1:
k(b-a)=1 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{b-a}.
Portanto a f.d.p. uniforme é f(x)=\dfrac{1}{b-a} em [a,b].

Passo 5

Exemplo 2 (exponencial, cálculo de esperança na prova passo a passo).
  • Proposta: f(x)=\lambda e^{-\lambda x} para x\ge 0 e f(x)=0 para x<0. Primeiro verificar normalização:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Calcule a integral (integral imprópria): usar primitiva \int e^{-\lambda x} dx = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}.
\int_{0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \lambda \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty} = \lambda \left(0 - \left(-\frac{1}{\lambda}\right)\right) =1.
Logo está normalizada para qualquer \lambda>0.
  • Cálculo da esperança \mathbb{E}[X] (passos para prova):
\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Fazer integração por partes. Escolher u=x e dv=\lambda e^{-\lambda x}\,dx. Então du=dx e v=-e^{-\lambda x}.
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \Big[ -x e^{-\lambda x} \Big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx.
Avaliar o termo de borda: \lim_{x\to\infty} x e^{-\lambda x}=0 (expoente vence polinômio) e em x=0 é 0. Portanto o primeiro termo dá 0-0=0. A segunda integral é
\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx = \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\lambda}.
Logo
\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}.
Dica de prova: decorre lembrar integrais padrão e o truque de integração por partes para momentos.

Passo 6

Transformação de variáveis — regra que costuma cair em prova (passo a passo e exemplo).
  • Se Y=g(X) e g é monotônica e diferenciável, então a f.d.p. de Y é
f_Y(y) = f_X\big(g^{-1}(y)\big)\cdot \left|\frac{d}{dy} g^{-1}(y)\right|.
Breve intuição: pedaços de probabilidade são preservados e a derivada ajusta a mudança de escala.
Exemplo rápido: se X tem densidade exponencial f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x} em x\ge 0 e Y=2X, então g(x)=2x é monotônica crescente, g^{-1}(y)=y/2 e \frac{d}{dy} g^{-1}(y)=1/2. Assim para y\ge 0:
f_Y(y) = f_X\left(\frac{y}{2}\right)\cdot \frac{1}{2} = \lambda e^{-\lambda (y/2)}\cdot \frac{1}{2} = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda y/2}.
Verificar normalização se sobrar tempo.

Passo 7

Propriedades e truques úteis para prova (resumo rápido e prático):
  • Sempre verifique domínio: muitas funções valem zero fora de um intervalo; use isso para simplificar integrais.
  • Para normalizar funções com constante c, monte a integral total e resolva =\!1.
  • Use integrais padrão: \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx = \tfrac{1}{\lambda}, \int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x}\,dx = \tfrac{1}{\lambda^{2}}, etc. Memorizar alguns momentos ajuda bastante.
  • Para esperança e variância, calcule \mathbb{E}[X]=\int x f(x)\,dx e \mathbb{E}[X^{2}]=\int x^{2} f(x)\,dx; então \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}.
  • Se a integral for imprópria, mostre limites explícitos (prática que o examinador quer ver).

Passo 8

Motivação intuitiva curta (para te animar): pensar em f(x) como uma “densidade de massa de probabilidade” ao longo do eixo. A condição f\ge 0 evita probabilidades negativas; a condição de integral igual a 1 garante que todo o peso da probabilidade soma 1. Calcular probabilidades vira apenas somar (integrar) a densidade sobre os intervalos que interessam — método direto e mecânico para a prova.

Resposta

\displaystyle f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1

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