Função de probabilidade. Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p) da variável aleatória contínua X se satisfaz as seguintes condições. f(x) \geq 0, se x \in R.
Passo 1
O enunciado nos dá uma frase parcial: “Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p) da variável aleatória contínua X se satisfaz as seguintes condições. f(x) \geq 0, se x \in \mathbb{R}.”\n
O que precisa ser completado e entendido (perguntas implícitas):
Quais são todas as condições que definem uma f.d.p.?
Por que cada condição é necessária (intuição)?
Como usar uma f.d.p. para calcular probabilidades, a função de distribuição acumulada (f.d.a.), esperança e variância?
Como verificar passo a passo que uma dada função é uma f.d.p. (normalização) e exemplos práticos que caem em prova?
Lista das informações dadas:
Foi dada a condição f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 2
Completar a definição formal: além de f(x)\ge 0 para todo x, a outra condição necessária é que a integral de f em toda a reta seja 1. Ou seja:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Explicação didática do porquê:
Probabilidades de eventos serão obtidas integrando f em subconjuntos do eixo real. Se a integral total não fosse 1, a soma de todas as probabilidades não seria 1, o que violaria a axioma básica de probabilidade.
A condição f(x)\ge 0 garante que integrais sobre intervalos não gerem probabilidades negativas.
Passo 3
Como calcular probabilidades com uma f.d.p.: regra prática e exemplo genérico.
Se A é um intervalo (ou união de intervalos), então a probabilidade de X cair em A é
P(X\in A)=\int_{A} f(x)\,dx.
Em particular, para um intervalo (a,b]:
P(a<X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Definição da função de distribuição acumulada (f.d.a.):
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Propriedades úteis de F:
F é não decrescente.
\lim_{x\to -\infty} F(x)=0 e \lim_{x\to\infty} F(x)=1.
Para qualquer a<b: P(a<X\le b)=F(b)-F(a).
Passo 4
Como verificar passo a passo que uma função dada f(x) é f.d.p. — método que sempre uso na prova:
Verificar não negatividade: mostrar que f(x)\ge 0 para todo x no domínio (ou restringir a domínio onde f é positiva).
Normalizar: calcular a integral total e obter a constante de normalização, se houver. Ou seja, calcular
I=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx.
Se I depende de uma constante c, resolva I=1 para obter c.
3. Concluir: se os passos acima forem satisfeitos, f é f.d.p.
Exemplo 1 (uniforme no intervalo [a,b]): verificar e achar a constante.
Proposta: f(x)=k para x\in[a,b] e f(x)=0 fora de [a,b].
Avaliar o termo de borda: \lim_{x\to\infty} x e^{-\lambda x}=0 (expoente vence polinômio) e em x=0 é 0. Portanto o primeiro termo dá 0-0=0. A segunda integral é
Breve intuição: pedaços de probabilidade são preservados e a derivada ajusta a mudança de escala.
Exemplo rápido: se X tem densidade exponencial f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x} em x\ge 0 e Y=2X, então g(x)=2x é monotônica crescente, g^{-1}(y)=y/2 e \frac{d}{dy} g^{-1}(y)=1/2. Assim para y\ge 0:
Propriedades e truques úteis para prova (resumo rápido e prático):
Sempre verifique domínio: muitas funções valem zero fora de um intervalo; use isso para simplificar integrais.
Para normalizar funções com constante c, monte a integral total e resolva =\!1.
Use integrais padrão: \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx = \tfrac{1}{\lambda}, \int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x}\,dx = \tfrac{1}{\lambda^{2}}, etc. Memorizar alguns momentos ajuda bastante.
Para esperança e variância, calcule \mathbb{E}[X]=\int x f(x)\,dx e \mathbb{E}[X^{2}]=\int x^{2} f(x)\,dx; então \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}.
Se a integral for imprópria, mostre limites explícitos (prática que o examinador quer ver).
Passo 8
Motivação intuitiva curta (para te animar): pensar em f(x) como uma “densidade de massa de probabilidade” ao longo do eixo. A condição f\ge 0 evita probabilidades negativas; a condição de integral igual a 1 garante que todo o peso da probabilidade soma 1. Calcular probabilidades vira apenas somar (integrar) a densidade sobre os intervalos que interessam — método direto e mecânico para a prova.
Resposta
\displaystyle f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1