Função de produção agregada Y=A K^{a} L^{(1-a)}.
a) Derive \frac{\partial Y}{\partial K} e \frac{\partial Y}{\partial L}.
b) Mostre que correspondem às participações do capital e trabalho na renda.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção agregada de Cobb–Douglas
Y = A K^{a} L^{(1-a)}
e pede (a) as derivadas parciais \partial Y/\partial K e \partial Y/\partial L e (b) mostrar que, sob competição perfeita (fatores pagos pelos produtos marginais), as participações do capital e do trabalho na renda são a e 1-a, respectivamente.

Passo 2

Para obter a derivada parcial em relação a K, tratamos L e A como constantes e usamos a regra da potência:
\frac{\partial Y}{\partial K} = A \cdot a \,K^{a-1} \,L^{(1-a)}.

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a L, tratamos K e A como constantes e aplicamos novamente a regra da potência:
\frac{\partial Y}{\partial L} = A \,K^{a}\,(1-a)\,L^{-a}.

Passo 4

Em concorrência perfeita, o pagamento ao capital é rK, com r = \partial Y/\partial K. Logo a participação do capital na renda é
\frac{rK}{Y} = \frac{\bigl(\frac{\partial Y}{\partial K}\bigr)\,K}{Y} = \frac{A\,a\,K^{a-1}L^{1-a}\,K}{A\,K^aL^{1-a}} = a.

Passo 5

Analogamente, o pagamento ao trabalho é wL, com w=\partial Y/\partial L. A participação do trabalho na renda é
\frac{wL}{Y} = \frac{\bigl(\frac{\partial Y}{\partial L}\bigr)\,L}{Y} = \frac{A\,K^a(1-a)L^{-a}\,L}{A\,K^aL^{1-a}} = 1-a.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial Y}{\partial K} = A\,a\,K^{a-1}L^{1-a} \quad e \displaystyle \frac{\partial Y}{\partial L} = A\,K^a(1-a)L^{-a}. (b)
As participações fatoriais são \displaystyle \frac{(\partial Y/\partial K)\,K}{Y}=a
e \displaystyle \frac{(\partial Y/\partial L)\,L}{Y}=1-a.

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