Função de produção agregada Y=A K^{a} L^{(1-a)}.
a) Derive \frac{\partial Y}{\partial K} \mathrm{e} \frac{\partial Y}{\partial K}.
b) Mostre que correspondem às participações do capital e trabalho na renda.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção agregada
Y = A\,K^{a}\,L^{1-a},
onde A é a produtividade total dos fatores, K é capital, L é trabalho e 0<a<1. Precisamos calcular as derivadas parciais de Y em relação a K e a L (parte a) e depois mostrar que esses resultados, multiplicados pelas quantidades relativas de cada fator, coincidem com as participações do capital e do trabalho na renda (parte b).

Passo 2

Para achar a derivada parcial de Y em relação a K usamos a regra de potência mantendo L constante. Assim,
\frac{\partial Y}{\partial K} = A\,(a)\,K^{a-1}\,L^{1-a} = a\,A\,K^{a-1}\,L^{1-a}.

Passo 3

Para achar a derivada parcial de Y em relação a L usamos a regra de potência mantendo K constante. Assim,
\frac{\partial Y}{\partial L} = A\,(1-a)\,K^{a}\,L^{(1-a)-1} = (1-a)\,A\,K^{a}\,L^{-a}.

Passo 4

Agora mostramos que essas derivadas, multiplicadas por K/Y e L/Y, dão exatamente a e 1-a. Primeiro,
\frac{\partial Y}{\partial K}\,\frac{K}{Y} = \bigl(a\,A\,K^{a-1}\,L^{1-a}\bigr)\, \frac{K}{A\,K^{a}\,L^{1-a}} = a.
Em seguida,
\frac{\partial Y}{\partial L}\,\frac{L}{Y} = \bigl((1-a)\,A\,K^{a}\,L^{-a}\bigr)\, \frac{L}{A\,K^{a}\,L^{1-a}} = 1-a.
Isso mostra que a fatia da renda total Y atribuída ao capital é a e a atribuída ao trabalho é 1-a.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial Y}{\partial K}=a\,A\,K^{a-1}\,L^{1-a} e \displaystyle \frac{\partial Y}{\partial L}=(1-a)\,A\,K^{a}\,L^{-a}.
(b) \displaystyle \frac{\partial Y}{\partial K}\,\frac{K}{Y}=a e \displaystyle \frac{\partial Y}{\partial L}\,\frac{L}{Y}=1-a, mostrando que são as participações do capital e do trabalho na renda.

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