Função de produção agregada
.
a) Derive
.
b) Mostre que correspondem às participações do capital e trabalho na renda.
a) Derive
b) Mostre que correspondem às participações do capital e trabalho na renda.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de produção agregada
onde
é a produtividade total dos fatores,
é capital,
é trabalho e
. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
(parte a) e depois mostrar que esses resultados, multiplicados pelas quantidades relativas de cada fator, coincidem com as participações do capital e do trabalho na renda (parte b).
Passo 2
Para achar a derivada parcial de
em relação a
usamos a regra de potência mantendo
constante. Assim,
Passo 3
Para achar a derivada parcial de
em relação a
usamos a regra de potência mantendo
constante. Assim,
Passo 4
Agora mostramos que essas derivadas, multiplicadas por
e
, dão exatamente
e
. Primeiro,
Em seguida,
Isso mostra que a fatia da renda total
atribuída ao capital é
e a atribuída ao trabalho é
.
Resposta
(a)
e
.
(b) e
, mostrando que são as participações do capital e do trabalho na renda.
(b)