Maximize \mathrm{U}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{xy} sujeito à restrição 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=20 (use multiplicadores de Lagrange).

Passo 1

O enunciado pede que a gente maximize a utilidade \mathrm{U}(x,y)=x\,y sob a restrição linear 2x+y=20. O método escolhido é multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar extremos sujeitos a vinculações.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x\,y \;-\;\lambda\bigl(2x+y-20\bigr),
onde \lambda é o multiplicador associado à restrição. A ideia é anular as derivadas parciais para achar os candidatos a extremos.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e montamos o sistema
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=y \;-\;2\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=x \;-\;\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(2x+y-20)=0.

Passo 4

Da segunda equação vem x=\lambda. Da primeira, y=2\lambda. Substituindo na restrição,
2(\lambda)+(2\lambda)=20 \quad\Longrightarrow\quad 4\lambda=20 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=5.
Então x=5 e y=10. A utilidade máxima é
U(5,10)=5\cdot10=50.

Resposta

x=5, y=10 e U_{\max}=50.

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