A função de produção de um determinado produto é dada por
. Sendo o custo do capital de
120
$30$ por dia, qual será o custo mínimo de produção para 1000 unidades de produto?
Passo 1
O enunciado dá a função de produção
e diz que o custo por dia do capital é
e do trabalho é
. Pede-se o custo mínimo para produzir
unidades. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para minimizar
sujeito a
Passo 2
Escrevemos o problema de minimização com restrição:
Passo 3
Construímos o lagrangiano
Passo 4
Calculamos as condições de primeira ordem:
Isolando
em cada equação e igualando, obtemos
Logo
Passo 5
Substituímos
na restrição
:
Então
Passo 6
Calculamos o custo mínimo correspondente:
Resposta
O custo mínimo para produzir
unidades é aproximadamente
.