A função de produção de um determinado produto é dada por \mathrm{Q}=100 \mathrm{KL}. Sendo o custo do capital de \ 120 por dia e o do trabalho$30$ por dia, qual será o custo mínimo de produção para 1000 unidades de produto?

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
Q = 100 \cdot K \cdot L
e diz que o custo por dia do capital é \$120 e do trabalho é \$30. Pede-se o custo mínimo para produzir Q=1000 unidades. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para minimizar
C = 120 \cdot K + 30 \cdot L
sujeito a
100 \cdot K \cdot L = 1000.

Passo 2

Escrevemos o problema de minimização com restrição:
\min_{K,L}\;C(K,L)=120\,K+30\,L \quad\text{sujeito a}\quad 100\,K\,L=1000.

Passo 3

Construímos o lagrangiano
\mathcal{L}(K,L,\lambda) =120\,K + 30\,L + \lambda\bigl(100\,K\,L - 1000\bigr).

Passo 4

Calculamos as condições de primeira ordem:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} =120 + \lambda\,(100\,L)=0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} =30 + \lambda\,(100\,K)=0.
Isolando \lambda em cada equação e igualando, obtemos
120 +100\,\lambda L=0 \\ \Rightarrow\\ \lambda=-\frac{120}{100\,L}, \qquad 30 +100\,\lambda K=0 \\ \Rightarrow\\ \lambda=-\frac{30}{100\,K}.
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-\frac{120}{100\,L} =-\frac{30}{100\,K} \\ \Longrightarrow\\ \frac{120}{L}=\frac{30}{K} \\ \Longrightarrow\\\ 120\,K=30\,L \\ \Longrightarrow\\ L=4\,K.

Passo 5

Substituímos L=4K na restrição 100\,K\,L=1000:
100\,K\,(4\,K)=1000 \\ \Longrightarrow\\\ 400\,K^2=1000 \\ \Longrightarrow\\ K^2=2{,}5 \\ \Longrightarrow\\ K=\sqrt{2{,}5}\approx1{,}5811.
Então
L=4\,K\approx4\cdot1{,}5811=6{,}3246.

Passo 6

Calculamos o custo mínimo correspondente:
C_{\min} =120\,K+30\,L =120\cdot1{,}5811 + 30\cdot6{,}3246 \approx189{,}73 + 189{,}74 \approx379{,}47.

Resposta

O custo mínimo para produzir 1000 unidades é aproximadamente \$379{,}47.

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