Suponha que uma função de produção tenha a expressão F(K, L)=K L^{2} e que o custo do capital seja \ 10 e o do trabalho seja$15$. Qual será a combinação de trabalho e capital capaz de minimizar o custo de produção para qualquer quantidade de produto?

Passo 1

O enunciado pede a combinação de K e L que minimiza o custo
C = 10K + 15L
sujeito à restrição de produção
F(K,L)=K\,L^2 = Q,
onde Q é o nível de produto dado. Vamos usar o método de Lagrange para resolver esse problema de minimização com restrição.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
\mathcal{L}(K,L,\lambda) =10K + 15L + \lambda\bigl(Q - K\,L^2\bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K} =10 - \lambda\,L^2 = 0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L} =15 - \lambda\,2K\,L = 0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} =Q - K\,L^2 = 0.

Passo 3

Das duas primeiras condições, temos
\lambda = \frac{10}{L^2} \quad\text{e}\quad \lambda = \frac{15}{2KL}.
Igualando-as:
\frac{10}{L^2} = \frac{15}{2K\,L} \;\Longrightarrow\; 10\cdot 2K\,L = 15\,L^2 \;\Longrightarrow\; 20K = 15L \;\Longrightarrow\; K = \frac{3}{4}\,L.

Passo 4

Substituímos K = \tfrac34 L na restrição K\,L^2 = Q:
\frac{3}{4}L \cdot L^2 = Q \;\Longrightarrow\; \frac{3}{4}L^3 = Q \;\Longrightarrow\; L^3 = \frac{4}{3}\,Q \;\Longrightarrow\; L^* = \Bigl(\tfrac{4}{3}\,Q\Bigr)^{\!1/3}.
Então
K^* = \frac{3}{4}\,L^* = \frac{3}{4}\,\Bigl(\tfrac{4}{3}\,Q\Bigr)^{\!1/3}.

Resposta

A combinação que minimiza o custo para produzir Q unidades é
L^* = \Bigl(\tfrac{4}{3}\,Q\Bigr)^{\!1/3}, \quad K^* = \frac{3}{4}\,\Bigl(\tfrac{4}{3}\,Q\Bigr)^{\!1/3}.

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