A função real f(x)=x^{2}+x-\frac{1}{4} possui zero real no intervalo \left[-\frac{4}{10}, \frac{4}{10}\right]. A sequência produzida por x_{n+1}=-x_{n}^{2}+\frac{1}{4} será convergente para esta raiz? Aproxime este zero aplicando o método ponto fixo até obter uma aproximação com erro inferior a 0,0005 .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2}+x-\frac{1}{4}
e pede para estudar a iteração de ponto-fixo
x_{n+1}=g(x_{n}),\quad g(x)=-x^{2}+\frac{1}{4}
no intervalo \bigl[-\tfrac{4}{10},\tfrac{4}{10}\bigr]. Vamos ver se a iteração converge (teoria de contracção) e depois aproximar a única raiz desse intervalo com erro abaixo de 0{,}0005.

Passo 2

Para usar o método de ponto-fixo, transformamos f(x)=0 em
x = -x^{2} + \frac{1}{4},
isto é, definimos
g(x) = -x^{2} + \frac{1}{4}.
Precisamos verificar duas coisas em \bigl[-0{,}4,0{,}4\bigr]:
  1. g leva o intervalo em si mesmo, e
  2. \lvert g'(x)\rvert é estritamente menor que 1.

Passo 3

Calculando a derivada,
g'(x) = -2x.
No intervalo \bigl[-0{,}4,0{,}4\bigr] vale
\lvert g'(x)\rvert \le 2\cdot 0{,}4 = 0{,}8 < 1,
logo g é uma contracção. Além disso, para x\in[-0{,}4,0{,}4] temos
g(-0{,}4)=g(0{,}4)= -0{,}16+0{,}25=0{,}09, \quad g(0)=0{,}25,
de modo que g(x)\in[0{,}09,0{,}25]\subset[-0{,}4,0{,}4]. Assim, a iteração converge a um único ponto-fixo no intervalo.

Passo 4

Como g é contracção em \bigl[-0{,}4,0{,}4\bigr], a sequência x_{n+1}=g(x_{n}) converge à raiz de f(x) contida nesse intervalo. Essa raiz é a solução de
x^{2}+x-\frac14=0
dada por
x^*=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}\approx0,2071.

Passo 5

Escolhemos x_{0}=0 (está em [-0{,}4,0{,}4]) e iteramos até \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<0{,}0005. Calculamos:
x_{1}=g(x_{0})=0,25,\quad x_{2}=0,1875,\quad x_{3}=0,21484375,\quad x_{4}=0,2038269,
x_{5}=0,2084491,\quad x_{6}=0,2065488,\quad x_{7}=0,2073282,\quad x_{8}=0,2070060.
Verificamos
\lvert x_{8}-x_{7}\rvert\approx0,0003222<0,0005,
logo podemos parar em n=8.

Resposta

A iteração converge ao único zero real de f em [-0,4,0,4].
A aproximação com erro abaixo de 0,0005 é
x_{8}\approx0,2070.

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