A função real
possui zero real no intervalo
. A sequência produzida por
será convergente para esta raiz? Aproxime este zero aplicando o método ponto fixo até obter uma aproximação com erro inferior a 0,0005 .
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para estudar a iteração de ponto-fixo
no intervalo
. Vamos ver se a iteração converge (teoria de contracção) e depois aproximar a única raiz desse intervalo com erro abaixo de
.
Passo 2
Para usar o método de ponto-fixo, transformamos
em
isto é, definimos
Precisamos verificar duas coisas em
:
-
leva o intervalo em si mesmo, e -
é estritamente menor que .
Passo 3
Calculando a derivada,
No intervalo
vale
logo
é uma contracção. Além disso, para
temos
de modo que
. Assim, a iteração converge a um único ponto-fixo no intervalo.
Passo 4
Como
é contracção em
, a sequência
converge à raiz de
contida nesse intervalo. Essa raiz é a solução de
dada por
Passo 5
Escolhemos
(está em
) e iteramos até
. Calculamos:
Verificamos
logo podemos parar em
.
Resposta
A iteração converge ao único zero real de
em
.
A aproximação com erro abaixo de é
A aproximação com erro abaixo de